Autor Tema: Calcular el centro/centroide de una matriz de distancias

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18 Junio, 2020, 09:20 pm
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thealberteitor

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Buenas tardes, tengo una pequeña duda sobre calcular el centroide de una serie de puntos de los que conocemos únicamente
la distancia entre ellos. En este caso no sabemos sus coordenadas por lo que el problema se complica.


A modo de ejemplo tenemos la siguiente matriz de distancias, la denominamos D y cada entrada D\_{i,j} representa la distancia entre i y j.

\begin{pmatrix}
-  & A & B & C & D\\
A & 0 & 6 & 12 & 30\\
B & 6 & 0 & 3 & 5\\
C & 12 & 3 & 0 & 3\\
D & 30 & 5 & 3 & 0
\end{pmatrix}

Según tengo entendido, la forma de proceder es la siguiente (corregidme si estoy equivocado):
1. Sumamos por filas (o columnas, da lo mismo porque es simétrica) las entradas de la matriz
En nuestro caso tendremos:
Suma de la fila A: 48, B:14, C:18, D:38

2: Media aritmética de la suma de las distancias anteriores:

\( Ce = centroide = \dfrac{48+14+18+38}{4} = 29.5 \)

Luego el centroide es 29.5 por lo que podemos calcular la distancia de cada punto al centroide para saber cual está más alejado:
d(A,Ce) =   |48-29.5| = 18.5
d(B,Ce) =   |14-29.5| = 15.5
d(C,Ce) =   |18-29.5| = 11.5
d(D,Ce) =   |38-29.5| = 8.5

Sacamos la siguiente conclusión:
Ordenando las diferencias anteriores, podemos afirmar que los elementos "más céntricos" son D, C, B y A, en este orden.




La otra versión equivalente  es dividir los valores obtenidos en el paso 1 por n.
A: 48/4 = 9.6
B: 14/4 = 2.8
C: 18/4 = 3.6
D: 38/4 = 7.6

que se corresponden con los centros individuales por así decirlo (eso tengo entendido)
Hacemos ahora la media:
\frac{9.6+2.8+3.6+7.6}{4} = 5.9   , que se corresponde con el centroide del conjunto.

Ahora bien:
d(A,Ce) =   |9.6-5.9| = 3.7
d(B,Ce) =   |2.8-5.9| = 3.1
d(C,Ce) =   |3.6-5.9| = 2.3
d(D,Ce) =   |7.6-5.9| = 1.7

¿Hay alguna otra forma más directa? ¿Es correcto el procedimiento?

Muchas gracias por todo!