Autor Tema: Aplicar la descomposición en fracciones simples para solucionar una ecuación dif

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18 Junio, 2020, 11:41 am
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Juan Sánchez

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Estoy resolviendo un problema de variable compleja que dice así:

Usa la transformada de fourier para resolver la ecuación diferencial \( y''+5y`+6y=f  \)donde f es una función de la clase \( S \) de Schwartz.

Indicación: Usa la transformada de Fourier de \( e^{\alpha x} \)

Sé que tengo que aplicar la transformada de Fourier a banda y banda de la ecuación y aplicar las propiedades de la transformada de fourier para hallar \( y \) (la propiedad clave será que la transformada de Fourier de la convolución de \( f \) y \( y \) es el producto de \( f \) transformada y y transformada)

Total, me queda \( y=\frac{f}{4\pi^2\xi^2-10\pi i \xi-6} \)

Ahora sé que la transformada de Fourier de \( e^{\alpha x} \) y \( e^{|\alpha|x} \) son \( \frac{1}{2\pi i\xi-\alpha} \) y \( \frac{1}{4\pi^2\xi^2+\alpha} \) respectivamente. Por lo que me interesaría aplicar la descomposición en fracciones simples a \( \frac{f}{4\pi^2\xi^2-10\pi i \xi-6} \). Cómo hago eso?

Saludos


18 Junio, 2020, 12:45 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Tienes que

\( \displaystyle{
\frac1{4\pi ^2 \xi ^2-10\pi i \xi -6}=\frac1{4\pi ^2}\cdot \frac1{\xi ^2-\frac5{2\pi}i\xi -\frac3{2\pi ^2}}
} \)

Y las raíces del denominador de la segunda fracción vienen dadas por

\( \displaystyle{
\xi =\frac5{4\pi}i\pm \frac1{4\pi}i= \begin{cases}
\frac{i}\pi=: \alpha \\
\frac3{2\pi}i=: \beta
\end{cases}
} \)

Quedándote la ecuación

\( \displaystyle{
 \frac1{(\xi -\alpha )(\xi -\beta )}=\frac{A}{\xi -\alpha }+\frac{B}{\xi -\beta }\iff (\xi -\beta )A+(\xi -\alpha )B=1\\\iff  A+B=0 \,\land\, A \beta +B \alpha =-1\iff  B=\frac1{\beta -\alpha }\,\land\, A=\frac1{\alpha -\beta }
} \)

Sólo te queda simplificarlo todo y ver como queda.

18 Junio, 2020, 09:05 pm
Respuesta #2

Juan Sánchez

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Perfecto, me salió todo con tus indicaciones, muchas gracias!