[alexpglez]

Hola

Dado un grupo de Lie \( G \) con álgebra de Lie \( \mathfrak g \) y una función suave \( X:[a,b] \longrightarrow \mathfrak g \).
¿Las soluciones de la ecuación diferencial:
$$ \gamma(a)=g $$
$$ \gamma'(t)=X_{\gamma(t)}(t) $$
Se pueden tomar en todo el intervalo, \( \gamma:[a,b] \longrightarrow G \)?

El intervalo maximal no depende de \( g \), pues \( \gamma(t)=g\beta(t) \), donde \( \beta \) es solución con condición inicial \( \beta(a)=e \). Esto se usa en la prueba cuando \( X \) es independiente del tiempo.
Si encontramos un \( \epsilon>0 \) general, tal que para todo \( c\in [a,b] \), \( g\in G \), encontramos la curva \( \gamma:(-\epsilon+c,c+\epsilon): \longrightarrow G \):
$$ \gamma(c)=g $$
$$ \gamma'(t)=X_{\gamma(t)}(t) $$
Entonces ya estaría.

En internet he encontrado un esbozo de prueba aquí. Pero no se entiende bien.

Gracias, saludos

[geómetracat]

Sí, es cierto y la prueba que enlazas está bien. ¿Qué es lo que no entiendes de esa prueba? Usa el truco típico de ver un campo vectorial dependiente del tiempo en una variedad \( M \) como un campo vectorial independiente del tiempo en \( M \times \Bbb R \), de forma que puedes usar la maquinaria habitual.

Más precisamente, si \( X(t) \) es un campo vectorial dependiente del tiempo en \( M \) entonces defines el campo vectorial \( \tilde{X} \) en \( M \times \Bbb R \) como \( \tilde{X}_{(p,c)} = X(c)_p + \partial_t \).
Ahora, una curva integral de \( \tilde{X} \) con condiciones iniciales \( \gamma(0)=(p,0) \) es una curva \( \gamma: (-\epsilon, \epsilon) \to M \times \Bbb R \), que puedes escribir de la forma \( \gamma(s)=(g(s),s) \), tal que \( \gamma'(s) = X(s)_{g(s)} + \partial_t \). Pero esto quiere decir que \( g: (-\epsilon, \epsilon) \to M \) es una curva integral en \( M \) del campo dependiente del tiempo \( X(t) \).

Una vez tienes la existencia de curvas integrales locales, el resto es parecido al caso independiente del tiempo, pues multiplicando curvas integrales adecuadas como en el enlace puedes extender el dominio de una curva integral tanto como quieras.

[alexpglez]

Hola!

Sí, es cierto y la prueba que enlazas está bien. ¿Qué es lo que no entiendes de esa prueba?

No sabía si estaba bien.
Ahí se elige primero una función \( g:[0,\delta]\longrightarrow G \):
$$ g(0)=e $$
$$ g'(t)=X_{g(t)}(t) $$

¿Cómo sabes que existe otra función \( h:[0,\delta] \longrightarrow G \), para el mismo \( \delta  \) anterior:
$$ h(0)=e$$
$$ h'(t)=X_{h(t)}(t+\delta) $$?

La idea usando el vector \( Z_{(g,s)}=X_g(s)+D_s \). El flujo será de la forma:
$$\theta^{(g,s)}(t)=(t+s,\phi(g,s,t)) $$
Primeramente, por existencia local tenemos un \( \delta>0 \), y una curva en \( [0,\delta] \).
$$\theta^{(e,0)}(t)=(t,g(t)) $$
$$ g'(t)=X_{g(t)}(t) $$

Y un \( \delta'>0 \), y una curva en \( [0,\delta'] \):
$$\theta^{(e,\delta)}(t)=(t+\delta,h(t)) $$
$$ h'(t)=X_{h(t)}(t+\delta) $$

¿Por qué podemos tomar \( \delta'=\delta \)?

[geómetracat]

Es un argumento de compacidad. Fíjate que lo único que necesitas para que funcione es que puedas tomar un mismo \( \delta \) para curvas integrales con condiciones iniciales de la forma \( \gamma(0)=(e,t) \) con \( t \in [0,1] \). Pero como para cada condición inicial existe localmente una curva integral, y \( \{e\} \times [0,1] \) es compacto, puedes tomar un mismo \( \delta>0 \) para todas las condiciones iniciales.

[alexpglez]

Gracias!
Creo que ya lo veo. No tengo mucha experiencia todavía con estas cosas. Por lo que hemos hablado basta comprobar esa condición.
Definimos:
$$ H=\{(t,s) \; | \; s \in [0,1], \; t \in [-s,1-s] $$
$$ D_{\delta}=\{(t,s) \; | \; s \in [0,1], \; t \in (-\delta,+\delta ) \}\cap H$$
Queremos ver que existe un \( \delta>0 \) flujo \( \phi:D_{\delta} \longrightarrow [0,1]\times G \) (con condición inicial \( \phi(0,s)=(s,e) \)) de:
$$  Z_{g,s}=D_s+X_g(s) $$
Está definido. Por otro lado \( \phi(t,s)=(t+s,h(t,s)) \).

En principio tenemos que está definido en un abierto de \( D \subset H  \), conteniendo a \( \{0\}\times [0,1] \), y queremos probar que \( D_{\delta}\subset D \). Para cada \( s\in [0,1] \), existe \( \delta_s>0 \) e intervalos \( I_s\ni s \):
$$ ((-\delta_s,+\delta_s)\times I_s )\cap H\subset D $$
Luego tenemos el recubrimiento abierto:
$$ \{0\} \times [0,1] \subset \bigcup_{s\in [0,1]}((-\delta_s,+\delta_s)\times I_s )\cap H \subset D $$
Por compacidad, hay un número finito que lo recubren, \( s_1,...,s_n \), escogiendo \( \delta=\min(\delta_{s_1},...,\delta_{s_n}) \), en particular:
$$ \{0\} \times [0,1] \subset \bigcup_{i=1}^n ((-\delta,+\delta)\times I_{s_i}) \cap H \subset D $$
Pero:
$$ D\supset \bigcup_{i=1}^n( (-\delta,+\delta)\times I_{s_i}) \cap H=D_{\delta} $$

¿Está bien? ¿Era ésto lo que me estabas indicando?

[geómetracat]

Perfecto. Sí, era justo ese argumento a lo que me refería.