Autor Tema: Probar: Toda álgebra de Boole finita es isomorfa al conjunto de partes de átomos

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15 Junio, 2020, 01:49 am
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manooooh

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\( \def\atom{\operatorname{atom}} \)Hola!

Estoy tratando de probar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al conjunto de partes de sus átomos.

Definiciones previas
Definición 1.1 Un álgebra de Boole es una red distributiva y complementada.

Definición 1.2 Sea \( (B,\lor,\land) \). Diremos que \( B \) es un álgebra de Boole si y sólo si se cumple:

1) \( \lor \) y \( \land \) son operaciones cerradas en \( B \).

2) \( \lor \) y \( \land \) son conmutativas.

3) \( \lor \) y \( \land \) son distributivas entre sí.

4) \( \lor \) y \( \land \) tienen elementos neutros \( 0_B \) y \( 1_B \) respectivamente.

5) Todos los elementos de \( B \) tienen complementos.

Definición 2 Sea \( (A,\preceq) \) un conjunto ordenado con primer elemento \( p\in A \). Se dice que \( m\in A \) es átomo de \( A \) si para todo \( x\in A \), \( (x\preceq m\to x=m\lor x=p)\land m\neq p \).

Observación Los átomos son los elementos que "siguen inmediatamente" al primer elemento.

Definición 3 Sean \( (A,\lor,\land) \) y \( (B,\lor',\land') \) dos álgebras de Boole, con primeros elementos \( 0_A \) y \( 0_B \) y últimos elementos \( 1_A \) y \( 1_B \), respectivamente. Un homomorfismo de álgebras de Boole es una función \( f\colon A\to B \) de modo que cumpla las siguientes condiciones:

1) \( f(\overline{a})=\overline{f(a)} \).

2) \( f(a\lor b)=f(a)\lor'f(b) \).

3) \( f(a\land b)=f(a)\land'f(b) \).

4) \( f(0_A)=0_B \).

5) \( f(1_A)=1_B \).

Definición 4 Sea \( f \) un homomorfismo de álgebras de Boole \( A \) y \( B \). Si \( f \) es biyectiva, se denomina isomorfismo de álgebras de Boole y se denota por \( A\approx B \). Para ello es necesario que los conjuntos tengan cardinales iguales.
[cerrar]

Una forma de decir lo mismo sería probar que:

Sean \( (A,\lor,\land) \) y \( B=(\mathcal{P}(\atom(A)),\lor',\land') \) dos álgebras de Boole, con \( \atom(A)=\{m\in A\mid\forall x\in A(x\preceq m\to x=m\lor x=p)\land m\neq p\} \), donde \( A \) tiene primer elemento \( p \). Entonces \( A\approx B \).

¿Está bien escrito y traducido lo anterior? Estoy usando una caracterización algebraica pero bien podríamos haberlo tomado como una red ordenada (en el libro aclara que es un bicondicional).



Si es así, pienso que hay que definir \( f\colon A\to B \) una función y probar que es un isomorfismo. (¿Se debe probar que \( f \) es una función?)

Para ello hay que probar las 5 condiciones de la definición 3 y que \( f \) es biyectiva.

1) Sea \( a\in A \). Al ser \( A \) un álgebra de Boole sabemos que \( \overline{a}\in A \). Y a partir de aquí no sé cómo probar \( f(\overline{a})=\overline{f(a)} \).

Lo mismo me sucede con los otros puntos.

¿Pueden ayudarme por favor? Gracias!!

Saludos

15 Junio, 2020, 02:00 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

He estado buscando y parece que Carlos Ivorra lo demuestra para cualquier tipo de álgebra de conjuntos finita, no solo la de Boole:

Teorema: Toda álgebra de conjuntos finita \( \mathcal B \) es isomorfa al álgebra \( \mathcal PA \), donde \( A \) es el conjunto de sus átomos.

Demostración
Sea \( h: \mathcal B\longrightarrow \mathcal PA \) la aplicación que a cada \( U\in \mathcal B \) le asigna el conjunto \( h(U)\subset A \) formado por todos los átomos de \( \mathcal B \) contenidos en \( U \). Veamos que se trata de un isomorfismo de álgebras.

Tenemos que \( h \) es inyectiva, pues si \( U\neq V \), entonces \( U\setminus V\neq \emptyset \) (o al revés, pero los dos casos se tratan igualmente). Como \( U\setminus V\in \mathcal B \) y ya hemos razonado que las álgebras finitas son atómicas, existe un átomo \( P\subset U\setminus V \), con lo que \( P\in h(U)\setminus h(V) \), luego \( h(U)\neq h(V) \).

También es suprayectiva, pues si \( V\in \mathcal PA \), se trata de una familia finita de elementos de \( \mathcal B \), luego \( U=\bigcup V\in \mathcal B \). Veamos que \( h(U)=V \). Ciertamente, todo \( P\in V \) es un átomo de \( \mathcal B \) contenido en \( U \), luego \( P\in h(U) \), luego \( V\subset h(U) \).

Recíprocamente, si \( P\in h(U) \), entonces es un átomo de \( \mathcal B \) contenido en \( U=\bigcup V \). Necesariamente, existe un \( Q\in V \) tal que \( P\cap Q\neq \emptyset \), pero como \( P \) y \( Q \) son átomos y \( P\cap Q\in \mathcal B \), tiene que ser \( P=P\cap Q=Q \), por definición de átomo (ninguno de los dos puede contener estrictamente un conjunto no vacío en \( \mathcal B \)). Por lo tanto \( P=Q\in V \) y tenemos la igualdad.

Con esto tenemos que \( h \) es biyectiva. Falta probar que es un homomorfismo de álgebras. En primer lugar, veamos que \( h(U\cup V)=h(U)\cup h(V) \). Si \( P\in h(U\cup V) \), entonces \( P \) es un átomo contenido en \( U\cup V \), luego \( P = P\cap (U\cup V)=(P\cap U)\cup (P\cap V) \), y ambas partes están en \( \mathcal B \). Como \( P \) es un átomo, o bien \( P\cap U=\emptyset \), en cuyo caso \( P\subset V \) y \( P\in h(V) \), o bien \( P\cap U=P \), en cuyo caso \( P\subset U \) y \( P\in h(U) \). Esto prueba que \( h(U\cup V)\subset h(U)\cup h(V) \).

Recíprocamente, si \( P\in h(U)\cup h(V) \), digamos que \( P\in h(U) \), con lo que es un átomo contenido en \( U \), luego en \( U\cup V \), luego \( P\in h(U\cup V) \) y tenemos la igualdad.

Similarmente, \( h(X\setminus U)=A\setminus h(U) \). En efecto, si \( P\in h(X\setminus U) \), entonces \( P \) es un átomo que no está contenido en \( U \), luego \( P\in A\setminus h(U) \). Recíprocamente, si \( P\in A\setminus h(U) \), tenemos que \( P \) es un átomo no contenido en \( U \). Por lo tanto \( P\cap U\neq P \), luego \( P\cap U=\emptyset \) (porque \( P \) es un átomo) luego \( P\subset X\setminus U \), luego \( P\in h(X\setminus U) \).

Esto prueba que \( h \) es un homomorfismo y, por consiguiente, un isomorfismo.
[cerrar]

Obviamente esa prueba escapa a mis estudios, pero por ahí a alguien se le ocurre algo similar a lo que propongo.

Saludos

15 Junio, 2020, 10:33 am
Respuesta #2

geómetracat

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En realidad lo que prueba Carlos Ivorra es esencialmente lo mismo que quieres probar tú. Un álgebra de conjuntos es en particular un álgebra de Boole (con \( \wedge \) la intersección, \( \vee \) la unión y complemento el complemento del conjunto respecto del espacio total).
De hecho, la misma demostración sirve, prácticamente palabra por palabra (traduciendo algunos conceptos conjuntistas a los de álgebras de Boole abstractas), para tu caso.

En realidad no hay diferencias entee álgebras de Boole en general y álgebras de conjuntos, incluso en el caso infinito: toda álgebra de Boole es isomorfa a un álgebra de conjuntos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Junio, 2020, 04:22 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Muchas gracias por tu respuesta!

Ah, mira... Yo pensé que toda álgebra de Boole era un caso particular de un álgebra de conjuntos. ¿Por qué es al revés?

¿Podrías por favor traducir los primeros párrafos a lo que tenemos que usar,por favor?

Por ejemplo no entiendo cómo se traduciría la contención ¿estricta? a nuestro caso ni por qué \( h(U)\subset A \) y no a partes de \( A \). Por otro lado, recuerdo que jamás hemos visto en la materia la aplicación de una función a un conjunto. Siempre era a un elemento.

Todo eso y otras cosas más son las que me imposibilitan ver en detalle la prueba, por más que en esencia sea la misma.

Saludos

15 Junio, 2020, 11:35 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Ah, mira... Yo pensé que toda álgebra de Boole era un caso particular de un álgebra de conjuntos. ¿Por qué es al revés?

Un álgebra de Boole es una estructura abstracta: un conjunto \( B \) con unas operaciones definidas \( \wedge, \vee,... \) que cumplen una serie de axiomas. Un álgebra de conjuntos es el caso particular en que \( B \subset PA \) para cierto conjunto \( A \) (es decir, los elementos de esta álgebra de Boole son subconjuntos de un conjunto fijado \( A \)), \( \wedge \) se interpreta como \( \cap \) (intersección de conjuntos), \( 1 \) como \( A \), \( 0 \) como \( \emptyset \), etc.
En ese sentido un álgebra de conjuntos es un caso particular de álgebra de Boole. Pero por otro lado hay álgebras de Boole, como el retículo de los divisores de \( 6 \) por ejemplo, que no tienen una interpretación como álgebra de conjuntos (los elementos son números, no subconjuntos de un conjunto dado, \( \vee \) es el supremo y no la unión de conjuntos, etc). Otro tema es que esta álgebra sea isomorfa a un álgebra de conjuntos, pero ella no es un álgebra de conjuntos.

Citar
¿Podrías por favor traducir los primeros párrafos a lo que tenemos que usar,por favor?

Mañana si tengo tiempo adapto la prueba, pero es algo qurme deberías intentar por ti mismo. Se trata de traducir las operaciones conjuntistas en \( \mathcal{B} \) a operaciones generales de un álgebra de Boole: cambiar intersecciones por \( \wedge \), uniones por \( \vee \), inclusiones por \( \leq \), etc. Ten cuidado por eso en que \( PA \) sigue siendo un álgebra de conjuntos, así que no debes traducir las operaciones que hagan referencia a \( PA \), solamente las de \( \mathcal{B} \).

Citar
Por ejemplo no entiendo cómo se traduciría la contención ¿estricta? a nuestro caso
La contención (estricta) de conjuntos se traduce por \( \leq \) (\( < \)), el orden del álgebra de Boole.
Citar
ni por qué \( h(U)\subset A \) y no a partes de \( A \). Por otro lado, recuerdo que jamás hemos visto en la materia la aplicación de una función a un conjunto. Siempre era a un elemento.

Me da la sensación de que te has imaginado que \( h \) es un tipo de aplicación extraña pero es una aplicación normal y corriente.
Fíjate que \( h: \mathcal{B} \to PA \). Luego si \( U \in \mathcal{B} \), entonces \( h(U) \in PA \) (como toda aplicación). Ahora bien, los elementos de \( PA \) son por definición los subconjuntos de \( A \). Por eso, \( h(U) \in PA \) es equivalente a \( h(U) \subset A \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Junio, 2020, 11:45 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Un álgebra de Boole es una estructura abstracta: un conjunto \( B \) con unas operaciones definidas \( \wedge, \vee,... \) que cumplen una serie de axiomas. Un álgebra de conjuntos es el caso particular en que \( B \subset PA \) para cierto conjunto \( A \) (es decir, los elementos de esta álgebra de Boole son subconjuntos de un conjunto fijado \( A \)), \( \wedge \) se interpreta como \( \cap \) (intersección de conjuntos), \( 1 \) como \( A \), \( 0 \) como \( \emptyset \), etc.
En ese sentido un álgebra de conjuntos es un caso particular de álgebra de Boole. Pero por otro lado hay álgebras de Boole, como el retículo de los divisores de \( 6 \) por ejemplo, que no tienen una interpretación como álgebra de conjuntos (los elementos son números, no subconjuntos de un conjunto dado, \( \vee \) es el supremo y no la unión de conjuntos, etc). Otro tema es que esta álgebra sea isomorfa a un álgebra de conjuntos, pero ella no es un álgebra de conjuntos.

Tienes razón. De hecho \( (D_n,\mid)=(D_n,\gcd,\operatorname{lcm}) \).

Mañana si tengo tiempo adapto la prueba, pero es algo qurme deberías intentar por ti mismo. Se trata de traducir las operaciones conjuntistas en \( \mathcal{B} \) a operaciones generales de un álgebra de Boole: cambiar intersecciones por \( \wedge \), uniones por \( \vee \), inclusiones por \( \leq \), etc. Ten cuidado por eso en que \( PA \) sigue siendo un álgebra de conjuntos, así que no debes traducir las operaciones que hagan referencia a \( PA \), solamente las de \( \mathcal{B} \).

De acuerdo. Intentaré empezar yo. Gracias.

Me da la sensación de que te has imaginado que \( h \) es un tipo de aplicación extraña pero es una aplicación normal y corriente.
Fíjate que \( h: \mathcal{B} \to PA \). Luego si \( U \in \mathcal{B} \), entonces \( h(U) \in PA \) (como toda aplicación). Ahora bien, los elementos de \( PA \) son por definición los subconjuntos de \( A \). Por eso, \( h(U) \in PA \) es equivalente a \( h(U) \subset A \).

Es cierto... No lo he pensado así, es un resultado básico de teoría de conjuntos.

Saludos

16 Junio, 2020, 12:26 am
Respuesta #6

manooooh

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Hola

Voy a empezar a traducir el teorema de Carlos para su reinterpretación dentro de las álgebras de Boole:

Teorema Toda álgebra de Boole finita \( B \) es isomorfa al conjunto de partes de sus átomos \( P(A) \).

Demostración Sea \( h\colon B\to P(A) \) la función que a cada \( u\in B \) le asigna el conjunto \( h(u)\in P(A) \) formado por todos los átomos de \( B \) precedidos por \( u \). Veamos que se trata de un isomorfismo de álgebras.

Para ello consideremos:

Definición Un álgebra de Boole es atómica si todos sus elementos que no sean primer elemento están precedidos por al menos un átomo.

Duda
No sé si lo anterior es la misma definición de "átomo" que expresé en la definición 2 de mi primer mensaje.
[cerrar]

Lema Toda álgebra de Boole finita \( B \) de la forma \( P(A) \) es atómica.

Demostración Si \( a_0\in B \) no es el primer elemento y no le precede ningún átomo, en particular \( a_0 \) no es un átomo, luego existe un \( a_1\in B \) tal que \( 0_B\neq a_1\precnsim a_0 \), pero \( a_1 \) no puede ser un átomo (porque a \( a_0 \) no le precede ningún átomo), luego existe un \( a_2\in B \) tal que \( 0_B\precnsim a_2\precnsim a_1\precnsim a_0 \), y de este modo podemos construir una sucesión infinita de elementos de \( B \), contradiciendo el hecho de que \( B \) era finita.

Tenemos que \( h \) es inyectiva, pues si \( u,v\in B \) con \( u\neq v \), entonces \( u\land\overline{v}\neq0_B \) (o al revés, pero los dos casos se tratan igualmente). Como \( u\land\overline{v}\in B \) y ya hemos razonado que las álgebras finitas son atómicas, existe un átomo \( p<u\land\overline{v} \), con lo que \( p\in h(u)\color{red}\cap\color{black}\overline{h(v)} \), luego \( h(u)\neq h(v) \).

Duda
No sé si esta proposición: dados \( u,v\in B \) con \( u\neq v \), entonces \( u\land\overline{v}\neq0_B \) es cierto. Por ejemplo, el álgebra de Boole \( (\{0,1\},\leq) \) tiene primer elemento \( 0_B=0 \), y si elegimos \( u=0 \) y \( v=1 \) luego \( u\land\overline{v}=0\land\overline{1}=0\land0=0=0_B \) (se razonaba que fuera distinto).
[cerrar]

¿Cómo lo ven?

Gracias y saludos

Corregido

16 Junio, 2020, 09:39 am
Respuesta #7

geómetracat

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Sobre la primera duda: la definición de átomo es la que pusiste: Un átomo es un elemento de un álgebra de Boole que no es el mínimo, pero que no tiene ningún otro elemento entre el mínimo y él.
Lo que dices ahora es que llamas a una álgebra de Boole atómica si cada elemento que no sea el mínimo tiene un átomo menor o igual que él.
Puedes tener álgebras de Boole que tengan algún átomo pero que no sean atómicas (porque haya algún elemento que no tenga átomos por debajo).

Sobre la segunda duda: que \( u \neq v \) implique \( u \wedge \bar{v} = 0 \) es falso, como indica tu contraejemplo, pero es que Carlos no afirma eso, afirma que \( u \neq v \) implica \( u \wedge \bar{v}\neq 0 \) o al revés: \( \bar{u} \wedge v \neq 0 \). Pero como los dos casos son simétricos solo trata el primero.
Para ver esto vemos el contrarrecíproco: si tuvieras \( u \wedge \bar{v}=0, \bar{u}\wedge v = 0 \) entonces \( u=(u \wedge v) \vee (u \wedge \bar{v}) = u \wedge v = (u \wedge v) \vee (\bar{u} \wedge v) = v \).
Fíjate la analogía con los conjuntos: la afirmación en el caso de un álgebra de conjuntos es lo mismo que decir que \( U \neq V \) implica que \( U - V \neq \emptyset \) o \( V- U \neq \emptyset \).

Sobre la traducción hasta el momento, está bien, salvo que cuando escribes \( p \in h(u) \wedge \overline{h(v)} \) deberías poner \( p \in h(u) - h(v) \). Recuerda que los elementos \( h(u) \) viven en el álgebra de conjuntos \( PA \), así que aquí no debes traducir las operaciones, ya que siguen siendo conjuntos. Solo tienes que traducir lo que haga referencia a \( B \), que ahora es una álgebra de Boole abstracta.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Junio, 2020, 05:53 pm
Respuesta #8

manooooh

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Hola geómetracat, muchas gracias por tus observaciones, las voy teniendo en cuenta.

Ahora sigo con la traducción, esta semana estuve bastante corto de tiempo :laugh:.

Saludos

20 Junio, 2020, 06:07 pm
Respuesta #9

manooooh

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Hola

¿Podrías indicar algunos ejemplos de álgebras de Boole que no sean atómicas, por favor?

Pienso en cosas como \( (D_n,|) \) o \( (A\subseteq\Bbb{Z},\leq) \) pero todas ellas son atómicas. Si puede ser un ejemplo finito, sencillo y conocido mucho mejor.

Saludos

20 Junio, 2020, 07:58 pm
Respuesta #10

geómetracat

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Hola geómetracat, muchas gracias por tus observaciones, las voy teniendo en cuenta.

Ahora sigo con la traducción, esta semana estuve bastante corto de tiempo :laugh:.

Tranquilo, no hay prisa.  ;)

¿Podrías indicar algunos ejemplos de álgebras de Boole que no sean atómicas, por favor?

Pienso en cosas como \( (D_n,|) \) o \( (A\subseteq\Bbb{Z},\leq) \) pero todas ellas son atómicas. Si puede ser un ejemplo finito, sencillo y conocido mucho mejor.

Finitas no atómicas no hay. Tú mismo pusiste la demostración más arriba de que toda álgebra de Boole finita es atómica.

Álgebras de Boole no atómicas o sin átomos no son tan fáciles de encontrar.
Un ejemplo infinito: considera el álgebra de intervalos en \( \Bbb R \). Esta álgebra es el álgebra de conjuntos generada por los intervalos semiabiertos \( [a,b) \). Es decir, es la subálgebra de \( P(\Bbb R) \) más pequeña que contiene a todos los intervalos semiabiertos. Esta álgebra no tiene átomos, básicamente porque cualquier conjunto del álgebra que no sea el vacío contiene algún intervalo no trivial, y éstos contienen intervalos aún más pequeños de la forma \( [a,b) \), de manera que puedes montar una cadena infinita descendente de intervalos no vacíos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Junio, 2020, 10:47 pm
Respuesta #11

manooooh

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Hola

Tranquilo, no hay prisa.  ;)

;) El problema es que en la universidad estamos por explicar este tema a los alumnos y justamente no quiero atrasarme con la preparación de videos para ellos (tengo un canal en YouTube donde publico los videos). Ya les hice uno de ejercicios de álgebras de Boole, pero este teorema me parece muy interesante para explicarles con sus lemas y definiciones extra, junto con que me gusta poder aprenderlo.

Finitas no atómicas no hay. Tú mismo pusiste la demostración más arriba de que toda álgebra de Boole finita es atómica.

Bah, tienes razón. No recordaba.

Un ejemplo infinito: considera el álgebra de intervalos en \( \Bbb R \). Esta álgebra es el álgebra de conjuntos generada por los intervalos semiabiertos \( [a,b) \). Es decir, es la subálgebra de \( P(\Bbb R) \) más pequeña que contiene a todos los intervalos semiabiertos. Esta álgebra no tiene átomos, básicamente porque cualquier conjunto del álgebra que no sea el vacío contiene algún intervalo no trivial, y éstos contienen intervalos aún más pequeños de la forma \( [a,b) \), de manera que puedes montar una cadena infinita descendente de intervalos no vacíos.

Hmm... vamos de a poco a ver si entiendo.

Álgebra de intervalos en los reales, ¿qué significa? ¿Un elemento es un intervalo de la recta real? ¿Y cuáles serían las operaciones particulares del supremo e ínfimo? O sea... "Llámese álgebra de intervalos en los reales a la terna \( (\Bbb{R},\sup,\inf) \) donde \( \sup=\cdots \) e \( \inf=\cdots \)".

¿Por qué son semiabiertos y no abiertos (o cerrados)?

Por ejemplo puedo tomar el \( [0,1) \) que pertenece a \( P(\Bbb{R}) \), entonces un intervalo más pequeño es \( [0,1/2) \), pero éste a su vez tiene otro elemento \( [0,1/4) \)... así podemos seguir y ¿con esto demostramos que no tiene átomos?



Sobre la segunda duda: que \( u \neq v \) implique \( u \wedge \bar{v} = 0 \) es falso, como indica tu contraejemplo, pero es que Carlos no afirma eso, afirma que \( u \neq v \) implica \( u \wedge \bar{v}\neq 0 \) o al revés: \( \bar{u} \wedge v \neq 0 \). Pero como los dos casos son simétricos solo trata el primero.
Para ver esto vemos el contrarrecíproco: si tuvieras \( u \wedge \bar{v}=0, \bar{u}\wedge v = 0 \) entonces \( u=(u \wedge v) \vee (u \wedge \bar{v}) = u \wedge v = (u \wedge v) \vee (\bar{u} \wedge v) = v \).
Fíjate la analogía con los conjuntos: la afirmación en el caso de un álgebra de conjuntos es lo mismo que decir que \( U \neq V \) implica que \( U - V \neq \emptyset \) o \( V- U \neq \emptyset \).

Genial, súper claro, lo entendí.

Sobre la traducción hasta el momento, está bien, salvo que cuando escribes \( p \in h(u) \wedge \overline{h(v)} \) deberías poner \( p \in h(u) - h(v) \). Recuerda que los elementos \( h(u) \) viven en el álgebra de conjuntos \( PA \), así que aquí no debes traducir las operaciones, ya que siguen siendo conjuntos. Solo tienes que traducir lo que haga referencia a \( B \), que ahora es una álgebra de Boole abstracta.

Claro, omití lo que habías comentado de no modificar las operaciones que se aplican a la imagen que en este caso es partes de un conjunto, o sea un conjunto. Sólo por aclarar, ¿\( h(u)-h(v) \) representa \( h(u)\cap\overline{h(v)} \) como \( A\setminus B=A\cap B' \) no es cierto?



No entiendo cómo se deduce lo marcado en verde:

(...) existe un átomo \( p<u\land\overline{v} \), con lo que \( p\in h(u)\color{red}\cap\color{green}\overline{h(v)} \), luego \( h(u)\neq h(v) \).

Por otro lado, no entiendo cómo de una proposición como \( p\in h(u)\cap\overline{h(v)} \) se deduce la no igualdad \( h(u)\neq h(v) \). Entiendo que tiene que ver con:

Fíjate que \( h: \mathcal{B} \to PA \). Luego si \( U \in \mathcal{B} \), entonces \( h(U) \in PA \) (como toda aplicación). Ahora bien, los elementos de \( PA \) son por definición los subconjuntos de \( A \). Por eso, \( h(U) \in PA \) es equivalente a \( h(U) \subset A \).

aunque no logro asociarlo.

Saludos

20 Junio, 2020, 11:34 pm
Respuesta #12

manooooh

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Hola

Continúo con la traducción:

También es suprayectiva, pues si \( V\in P(A) \), se trata de una familia finita de elementos de \( B \), luego \( u=\bigvee_{i=1}^n v_i=v_1\vee v_2\vee\dots\vee v_n\in B \). Veamos que \( h(u)=V \). Ciertamente, todo \( p\in V \) es un átomo de \( B \) que es menor o igual que \( u \), luego \( p\in h(u) \), luego \( V\subseteq h(u) \).

Dudas
Digo \( V\in P(A) \) pero luego digo \( \bigvee v \) y no \( \bigcup V \), con lo cual hay algo que estaré haciendo mal.

Aquí básicamente no entiendo nada. Sé que una función \( f\colon A\to B \) es sobreyectiva si para todo \( y\in B \) tal que existe \( x\in A \) y \( f(x)=y \), así que partiendo de \( f(x) \) se debe mostrar que es igual a \( y \), pero no puedo relacionarlo bien con la prueba.
[cerrar]

Y paro aquí porque tengo mezclado varios conceptos.

Gracias y saludos

21 Junio, 2020, 01:26 am
Respuesta #13

geómetracat

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;) El problema es que en la universidad estamos por explicar este tema a los alumnos y justamente no quiero atrasarme con la preparación de videos para ellos (tengo un canal en YouTube donde publico los videos). Ya les hice uno de ejercicios de álgebras de Boole, pero este teorema me parece muy interesante para explicarles con sus lemas y definiciones extra, junto con que me gusta poder aprenderlo.

Ah, ¡qué interesante! Es un tema bonito desde luego. Por otro lado (solamente si no te importa), ¿puedes compartir el enlace a tu canal de youtube?

Citar
Álgebra de intervalos en los reales, ¿qué significa?

Es un nombre para el álgebra que describo a continuación.

Citar
¿Un elemento es un intervalo de la recta real? ¿Y cuáles serían las operaciones particulares del supremo e ínfimo? O sea... "Llámese álgebra de intervales en los reales a la terna \( (\Bbb{R},\sup,\inf) \) donde \( \sup=\cdots \) e \( \inf=\cdots \)".

Los intervalos de la forma \( [a,b) \) son todos elementos del álgebra, pero no todos los elementos del álgebra son de esta forma. Los elementos de esta álgebra son: el conjunto vacío, \( \Bbb R \), uniones finitas de intervalos \( [a,b) \) y complementos de uniones finitas de intervalos \( [a,b) \). Las operaciones son las de cualquier álgebra de conjuntos: unión como supremo e intersección como ínfimo.

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¿Por qué son semiabiertos y no abiertos (o cerrados)?

Pues porque es la definición que he visto buscando en google.  ;D De todas formas, si tomas cerrados no funciona: los conjuntos de la forma \( \{a\} \) son intervalos cerrados y son átomos.

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Por ejemplo puedo tomar el \( [0,1) \) que pertenece a \( P(\Bbb{R}) \), entonces un intervalo más pequeño es \( [0,1/2) \), pero éste a su vez tiene otro elemento \( [0,1/4) \)... así podemos seguir y ¿con esto demostramos que no tiene átomos?

Es una idea, pero con eso no se demuestra que no tiene átomos. Se demuestra observando que cada elemento del álgebra distinto del vacío (que es de una de las formas que describo arriba) contiene como subconjunto propio algún intervalo de la forma \( [a,b) \). Por tanto el álgebra no puede tener ningún átomo, porque cualquier elemento que no sea el mínimo (el conjunto vacío) tiene otro elemento no vacío estrictamente menor que el él.

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Sólo por aclarar, ¿\( h(u)-h(v) \) representa \( h(u)\cap\overline{h(v)} \) como \( A\setminus B=A\cap B' \) no es cierto?

Sí, es la diferencia de conjuntos. Es lo mismo que poner \( h(u) \setminus h(v) \).

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No entiendo cómo se deduce lo marcado en verde:

(...) existe un átomo \( p<u\land\overline{v} \), con lo que \( p\in h(u)\color{red}\cap\color{green}\overline{h(v)} \), luego \( h(u)\neq h(v) \).

Pues porque si \( p < u \wedge \overline{v} \), por un lado tienes que \( p<u \) (porque \( u \wedge \overline{v} \leq u \)) luego \( p \) es un átomo menor que \( u \) y \( p \in h(u) \) (por la definición de \( h(u) \), que es el conjunto de todos los átomos por debajo de \( u \)). Y por otro lado, tienes que \( p < \overline{v} \), lo que implica que \( p \not\leq v \), porque si tuvieras \( p \leq v \) tendrías que \( p \leq v \wedge \overline{v} = 0 \), contradicción porque los átomos no son \( 0 \). Como \( p \) no cumple \( p \leq v \), tienes que \( p \notin h(v) \).

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Por otro lado, no entiendo cómo de una proposición como \( p\in h(u)\cap\overline{h(v)} \) se deduce la no igualdad \( h(u)\neq h(v) \).

Pues esto es bien claro: si tienes dos conjuntos y un elemento que pertenece a un conjunto y al otro no, los dos conjuntos no pueden ser iguales, porque dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

Continúo con la traducción:

También es suprayectiva, pues si \( V\in P(A) \), se trata de una familia finita de elementos de \( B \), luego \( u=\bigvee_{i=1}^n v_i=v_1\vee v_2\vee\dots\vee v_n\in B \). Veamos que \( h(u)=V \). Ciertamente, todo \( p\in V \) es un átomo de \( B \) que es menor/¿menor o igual? que \( u \), luego \( p\in h(u) \), luego \( V\subseteq h(u) \).

Dudas
Digo \( V\in P(A) \) pero luego digo \( \bigvee v \) y no \( \bigcup V \), con lo cual hay algo que estaré haciendo mal.

Aquí básicamente no entiendo nada. Sé que una función \( f\colon A\to B \) es sobreyectiva si para todo \( y\in B \) tal que existe \( x\in A \) y \( f(x)=y \), así que partiendo de \( f(x) \) se debe mostrar que es igual a \( y \), pero no puedo relacionarlo bien con la prueba.
[cerrar]

Lo que está en rojo debería ser menor o igual.
Veamos. Quieres probar que \( h: B \to P(A) \) es sobreyectiva. Es decir, tomas un \( V \in P(A) \) arbitrario y quieres ver que existe un \( u \in B \) tal que \( h(u) = V \).
Vale, ahora vamos a analizar la situación con calma. \( V \in P(A) \), luego \( V \subseteq A \), es decir, \( V \) es un conjunto de átomos del álgebra de Boole \( B \) (recuerda que habíamos tomado \( A \) el conjunto de átomos de \( B \)). Entonces lo que queremos ver es, que dado un conjunto cualquiera \( V \) de átomos de \( B \), existe un elemento \( u \in B \) tal que el conjunto de átomos que están por debajo de \( u \) es exactamente \( V \) (esto es precisamente lo que significa que \( h(u)=V \)).
Entonces, para ello, si \( V=\{v_1, \dots, v_n\} \) tomamos \( u = v_1 \wedge \dots \wedge v_n \). Entonces obviamente \( v_i \leq u \) para todo \( i=1, \dots, n \), lo que quiere decir que \( V \subseteq h(u) \) (luego habrá que ver la otra inclusión).

No tiene nada de raro que tomes el \( \wedge \) de los elementos de \( V \), ya que los elementos de \( V \) son, por definición, elementos del álgebra de Boole \( B \) (son átomos de esa álgebra).

Te recomiendo que cuando no veas claro algo pares un momento y analices bien qué es cada cosa y veas si tiene sentido. A veces me da la sensación de que no ves algo claro a la primera y ya "colapsas". Si no ves algo claro, para un momento y piensa las cosas con calma, apúntate qué es cada cosa y dónde vive cada elemento, y mira a ver si ahora tiene más sentido. Es un consejo que creo que es útil a la hora de leer demostraciones matemáticas, y más útil cuanto más complejas sean. Pocas veces verás claras las cosas a la primera, debes darte un tiempo para entender qué está pasando con calma.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Junio, 2020, 12:13 am
Respuesta #14

manooooh

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Hola

Ah, ¡qué interesante! Es un tema bonito desde luego. Por otro lado (solamente si no te importa), ¿puedes compartir el enlace a tu canal de youtube?

;)

Te recomiendo que cuando no veas claro algo pares un momento y analices bien qué es cada cosa y veas si tiene sentido. A veces me da la sensación de que no ves algo claro a la primera y ya "colapsas". Si no ves algo claro, para un momento y piensa las cosas con calma, apúntate qué es cada cosa y dónde vive cada elemento, y mira a ver si ahora tiene más sentido. Es un consejo que creo que es útil a la hora de leer demostraciones matemáticas, y más útil cuanto más complejas sean. Pocas veces verás claras las cosas a la primera, debes darte un tiempo para entender qué está pasando con calma.

Vale, me estoy anotando en papel las demostraciones. Tengo dudas:

Tenemos que \( h \) es inyectiva, pues si \( u,v\in B \) con \( u\neq v \), entonces \( u\land\overline{v}\neq0_B \) (o al revés, pero los dos casos se tratan igualmente). (...)

Esto lo he traducido formalmente así: \( \forall u,v\in B(u\neq v\to(u\land\overline{v}\neq0_B)\vee(\overline{u}\land v\neq0_B)) \), el cual se demuestra como lo has hecho por el contrarrecíproco. Mi duda viene que en como \( u\neq v \) entonces simplemente tomamos una parte de la disyunción (la de la izquierda), para luego decir que como \( u\land\overline{v}\in B \) existe un átomo etcétera. Pero... ¿no es que la implicación \( p\vee q\to p \) es falsa en general (porque podría ser \( p \) falsa y \( q \) verdadera)?

Por otro lado:

Lo que está en rojo debería ser menor o igual.
Veamos. Quieres probar que \( h: B \to P(A) \) es sobreyectiva. Es decir, tomas un \( V \in P(A) \) arbitrario y quieres ver que existe un \( u \in B \) tal que \( h(u) = V \).
Vale, ahora vamos a analizar la situación con calma. \( V \in P(A) \), luego \( V \subseteq A \), es decir, \( V \) es un conjunto de átomos del álgebra de Boole \( B \) (recuerda que habíamos tomado \( A \) el conjunto de átomos de \( B \)). Entonces lo que queremos ver es, que dado un conjunto cualquiera \( V \) de átomos de \( B \), existe un elemento \( u \in B \) tal que el conjunto de átomos que están por debajo de \( u \) es exactamente \( V \) (esto es precisamente lo que significa que \( h(u)=V \)).
Entonces, para ello, si \( V=\{v_1, \dots, v_n\} \) tomamos \( u = v_1 \wedge \dots \wedge v_n \). Entonces obviamente \( v_i \leq u \) para todo \( i=1, \dots, n \), lo que quiere decir que \( V \subseteq h(u) \) (luego habrá que ver la otra inclusión).

Si bien entiendo la mayoría de lo que dices, me gustaría entenderlo completamente de la manera "cadenas de implicaciones". Me refiero a que consideremos probar ésto: \( \forall V\in P(A)\,\exists u\in B(h(u)=V) \).

Veamos que \( V\subseteq h(u) \), o sea que para todo \( p\in V \) debe pasar \( p\in h(u) \). Si \( p\in V \) y como \( V\in P(A) \), luego \( V\subseteq A \), de donde \( V=\{v_1,\dots,v_n\} \) es un conjunto formado por átomos de \( B \). Sea \( u=v_1\land\dots\land v_n \). Claramente \( v_i\preceq u \) para todo \( i=1,\dots,n \), ¿y luego cómo hago aparecer a \( p\in h(u) \)?

AGREGADO Ahhh, se deduce eso porque como \( p\in V \) luego \( p\leq v_i \), y como mostramos que \( v_i\leq u \) luego \( p\leq u \) de donde \( p\in h(u) \). ¿Está bien? En el otro mensaje te pregunto por si \( a\in h(b) \) es lo mismo que decir \( a\leq b \).

Gracias y saludos

22 Junio, 2020, 01:51 am
Respuesta #15

manooooh

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Hola

Continúo con la traducción:

Recíprocamente, si \( p\in h(u) \), entonces es un átomo de \( B \) menor o igual que \( u=v_1\lor\dots\lor v_n \). Necesariamente, existe un \( q\in V \) tal que \( p\land q\neq0_B \), pero como \( p \) y \( q \) son átomos y \( p\land q\in B \), tiene que ser \( p=p\land q=q \), por definición de átomo (ninguno de los dos puede ser menor o igual que un elemento distinto del \( 0_B \) en \( B \)). Por lo tanto \( p=q\in V \) y tenemos \( V=h(u) \).

Con esto tenemos que \( h \) es biyectiva. Falta probar que es un homomorfismo de álgebras.

Veamos que \( h(u\lor v)=h(u)\cup h(v) \). Si \( p\in h(u\lor v) \), entonces \( p \) es un átomo menor o igual que \( u\lor v \), luego \( p=p\land(u\lor v)=(p\land u)\lor(p\land v) \), y ambas partes pertenecen a \( B \). Como \( p \) es un átomo, o bien \( p\land u=0_B \), en cuyo caso \( p\leq v \) y \( p\in h(v) \), o bien \( p\land u=p \), en cuyo caso \( p\leq u \) y \( p\in h(u) \). Esto prueba \( h(u\land v)\subseteq h(u)\cup h(v) \).

Duda
¿Aquí se da por hecho que la prueba de que \( p\in h(v) \) es la misma que con \( u \) nada más cambiando la \( u \) por \( v \)?
[cerrar]

Recíprocamente, si \( p\in h(u)\cup h(v) \), digamos \( p\in h(u) \), con lo que es un átomo menor o igual que \( u \), luego menor o igual que \( p\leq u\lor v \), de forma tal que \( p\in h(u\lor v) \) y tenemos la igualdad.

Dudas
¿En la última parte se asegura que como \( p\leq u \) entonces \( p\leq u\lor v \)?

Por otro lado y esto debería haber sido una pregunta inicial, ¿podemos asegurar que \( p\in h(u)\leftrightarrow p\leq u \)?
[cerrar]

Similarmente, \( h(\overline{u})=\overline{h(u)} \). En efecto, si \( p\in h(\overline{u}) \), entonces \( p \) es un átomo que no es menor o igual que \( u \), luego \( p\in\overline{h(u)} \). Recíprocamente, si \( p\in\overline{h(u)} \), tenemos que \( p \) es un átomo que no es menor o igual que \( 0_B \). Por lo tanto \( p\neq p\land u \), luego \( p\land u=0_B \) (porque \( p \) es un átomo), luego \( p\leq\overline{u} \), de modo que \( p\in h(\overline{u}) \).

Duda
No entiendo lo que está antes de "Recíprocamente". Es decir, que \( p\in h(\overline{u}) \) significa que \( p\leq\overline{u} \), o sea \( \neg(p\leq u) \), o sea \( \neg(p\in h(u)) \), o sea \( p\in\overline{h(u)} \). ¿No es cierto?

Si fuera así, ¿no estaríamos usando equivalencias de modo tal que lo podemos demostrar 1 sola vez y no 2 inclusiones?
[cerrar]

Esto prueba que \( h \) es un homomorfismo y, por consiguiente, un isomorfismo.



Si bien Carlos termina la demostración ahí, en mi libro dice que para que sea homorfismo deben cumplirse además:

1) \( h(a\land b)=h(a)\land' h(b) \).
2) \( h(0_B)=0_{B'} \).
3) \( h(1_B)=1_{B'} \).

Me gustaría probarlas por más que estén incluidas en las otras pruebas.

2) Veremos que \( h(0_B)=0_{P(A)} \), o sea que los primeros elementos se conservan. Si \( p\in h(0_B) \) entonces \( p\leq0_B \), pero como no hay ningún átomo menor o igual que \( 0_B \) luego \( h(0_B)=\emptyset \). La otra inclusión es trivial, pues el vacío está contenido en cualquier conjunto.

3) Veamos que \( h(1_B)=1_{P(A)} \). Sea \( p\in h(1_B) \), o sea \( p\leq1_B \). Y aquí no sé cómo seguir.

¿Cómo sería la prueba de (1)?

Gracias y saludos

CORREGIDO Gracias geómetracat

22 Junio, 2020, 10:24 am
Respuesta #16

geómetracat

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Tengo dudas:

Vamos allá.

Citar
Tenemos que \( h \) es inyectiva, pues si \( u,v\in B \) con \( u\neq v \), entonces \( u\land\overline{v}\neq0_B \) (o al revés, pero los dos casos se tratan igualmente). (...)

Esto lo he traducido formalmente así: \( \forall u,v\in B(u\neq v\to(u\land\overline{v}\neq0_B)\vee(\overline{u}\land v\neq0_B)) \), el cual se demuestra como lo has hecho por el contrarrecíproco. Mi duda viene que en como \( u\neq v \) entonces simplemente tomamos una parte de la disyunción (la de la izquierda), para luego decir que como \( u\land\overline{v}\in B \) existe un átomo etcétera. Pero... ¿no es que la implicación \( p\vee q\to p \) es falsa en general (porque podría ser \( p \) falsa y \( q \) verdadera)?

Sí, pero no se está usando la implicación \( p \vee q \to p \). Lo que está usando es que si tienes una disyunción \( p \vee q \) y son verdaderas \( p \to r \) y \( q \to r \) entonces también es verdadera \( p \vee q \to r \). Aquí solo se trata un lado (es decir, vemos que \( p \to r \)) porque la otra (\( q \to r \)) se hace exactamente igual.

Citar
Si bien entiendo la mayoría de lo que dices, me gustaría entenderlo completamente de la manera "cadenas de implicaciones". Me refiero a que consideremos probar ésto: \( \forall V\in P(A)\,\exists u\in B(h(u)=V) \).

Veamos que \( V\subseteq h(u) \), o sea que para todo \( p\in V \) debe pasar \( p\in h(u) \). Si \( p\in V \) y como \( V\in P(A) \), luego \( V\subseteq A \), de donde \( V=\{v_1,\dots,v_n\} \) es un conjunto formado por átomos de \( B \). Sea \( u=v_1\land\dots\land v_n \). Claramente \( v_i\preceq u \) para todo \( i=1,\dots,n \), ¿y luego cómo hago aparecer a \( p\in h(u) \)?

AGREGADO Ahhh, se deduce eso porque como \( p\in V \) luego \( p\leq v_i \), y como mostramos que \( v_i\leq u \) luego \( p\leq u \) de donde \( p\in h(u) \). ¿Está bien?

Pues es más sencillo aún que eso. Si \( p \in V \), como \( V = \{v_1, \dots,v_n\} \), quiere decir que \( p = v_i \) para algún \( i \). Y como \( v_i \leq u \) para todo \( i \), automáticamente tienes \( p \leq u \).

Citar
En el otro mensaje te pregunto por si \( a\in h(b) \) es lo mismo que decir \( a\leq b \).
\( a \in h(b) \) es lo mismo que decir \( a \leq b \) y que \( a \) es un átomo. Es la definición de \( h(b) \): conjunto de átomos menores o iguales que \( b \).

Recíprocamente, si \( p\in h(u) \), entonces es un átomo de \( B \) menor o igual que \( u=v_1\vee\dots\vee v_n \). Necesariamente, existe un \( q\in V \) tal que \( p\land q\neq0_B \), pero como \( p \) y \( q \) son átomos y \( p\land q\in B \), tiene que ser \( p=p\land q=q \), por definición de átomo (ninguno de los dos puede ser menor o igual que un elemento distinto del \( 0_B \) en \( B \)). Por lo tanto \( p=q\in V \) y tenemos \( V=h(u) \).

Con esto tenemos que \( h \) es biyectiva. Falta probar que es un homomorfismo de álgebras.

Te he corregido un par de erratas (en rojo).

Citar
Veamos que \( h(u\lor v)=h(u)\cup h(v) \). Si \( p\in h(u\lor v) \), entonces \( p \) es un átomo menor o igual que \( u\lor v \), luego \( p=p\land(u\lor v)=(p\land u)\lor(p\land v) \), y ambas partes pertenecen a \( B \). Como \( p \) es un átomo, o bien \( p\land u=0_B \), en cuyo caso \( p\leq v \) y \( p\in h(v) \), o bien \( p\land u=p \), en cuyo caso \( p\leq u \) y \( p\in h(u) \). Esto prueba \( h(u\land v)\subseteq h(u)\cup h(v) \).

¿Aquí se da por hecho que la prueba de que \( p\in h(v) \) es la misma que con \( u \) nada más cambiando la \( u \) por \( v \)?

No, esta es la prueba completa. Que \( p \in h(u) \cup h(v) \) quiere decir que \( p \in h(u) \) o \( p \in h(v) \). En la prueba se llega a una disyuntiva (o bien \( p \wedge u=0 \) o bien \( p \wedge u = p \). En el primer caso, se prueba que \( p \in h(v) \) (luego \( p \in h(u) \cup h(v) \)) y en el segundo caso que \( p \in h(u) \) (luego \( p \in h(u) \cup h(v) \)). En definitiva, pase lo que pase, se ha demostrado que \( p \in h(u) \cup h(v) \).


Citar
Recíprocamente, si \( p\in h(u)\cup h(v) \), digamos \( p\in h(u) \), con lo que es un átomo menor o igual que \( u \), luego menor o igual que \( p\leq u\lor v \), de forma tal que \( p\in h(u\lor v) \) y tenemos la igualdad.

¿En la última parte se asegura que como \( p\leq u \) entonces \( p\leq u\lor v \)?

Sí.

Citar
Por otro lado y esto debería haber sido una pregunta inicial, ¿podemos asegurar que \( p\in h(u)\leftrightarrow p\leq u \)?
Ya te contesté antes:
 \( p\in h(u)\leftrightarrow p\leq u \wedge (p \text{ es un átomo}) \).

Citar
Similarmente, \( h(\overline{u})=\overline{h(u)} \). En efecto, si \( p\in h(\overline{u}) \), entonces \( p \) es un átomo que no es menor o igual que \( u \), luego \( p\in\overline{h(u)} \). Recíprocamente, si \( p\in\overline{h(u)} \), tenemos que \( p \) es un átomo que no es menor o igual que \( 0_B \). Por lo tanto \( p\neq p\land u \), luego \( p\land u=0_B \) (porque \( p \) es un átomo), luego \( p\leq\overline{u} \), de modo que \( p\in h(\overline{u}) \).

No entiendo lo que está antes de "Recíprocamente". Es decir, que \( p\in h(\overline{u}) \) significa que \( p\leq\overline{u} \), o sea \( \neg(p\leq u) \), o sea \( \neg(p\in h(u)) \), o sea \( p\in\overline{h(u)} \). ¿No es cierto?

Sí, y es exactamente lo que hace. No sé por qué dices que no lo entiendes.

Citar
Si fuera así, ¿no estaríamos usando equivalencias de modo tal que lo podemos demostrar 1 sola vez y no 2 inclusiones?

Pues sí, lo puedes hacer de golpe como has hecho.

Citar
Si bien Carlos termina la demostración ahí, en mi libro dice que para que sea homorfismo deben cumplirse además:

1) \( h(a\land b)=h(a)\land' h(b) \).
2) \( h(0_B)=0_{B'} \).
3) \( h(1_B)=1_{B'} \).

Me gustaría probarlas por más que estén incluidas en las otras pruebas.

Sí. No lo prueba porque son consecuencia de lo ya probado, ya que se puede definir \( \wedge \) en términos de \( \vee \) y complementos, etc.

Citar
2) Veremos que \( h(0_B)=0_{P(A)} \), o sea que los primeros elementos se conservan. Si \( p\in h(0_B) \) entonces \( p\leq0_B \), pero como no hay ningún átomo menor o igual que \( 0_B \) luego \( h(0_B)=\emptyset \). La otra inclusión es trivial, pues el vacío está contenido en cualquier conjunto.

Perfecto.

Citar
3) Veamos que \( h(1_B)=1_{P(A)} \). Sea \( p\in h(1_B) \), o sea \( p\leq1_B \). Y aquí no sé cómo seguir.

La idea es muy sencilla: los átomos de \( B \) que son menores o iguales que \( 1_B \) son todos los átomos (pues cualquier elemento del álgebra es menor o igual que \( 1 \)). Luego \( h(1_B)=A \). Que es lo que queríamos, porque \( 1_{P(A)}=A \).

Citar
¿Cómo sería la prueba de (1)?

\( p \in h(u \wedge v) \) si y solo si \( p \) es un átomo y \( p \leq u \wedge v \) si y solo si \( p \) es un átomo, \( p \leq u \) y \( p \leq v \) si y solo si \( p \in h(u) \) y \( p \in h(v) \) si y solo si \( p \in h(u) \cap h(v) \).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Junio, 2020, 09:43 pm
Respuesta #17

manooooh

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Hola

Sí, pero no se está usando la implicación \( p \vee q \to p \). Lo que está usando es que si tienes una disyunción \( p \vee q \) y son verdaderas \( p \to r \) y \( q \to r \) entonces también es verdadera \( p \vee q \to r \). Aquí solo se trata un lado (es decir, vemos que \( p \to r \)) porque la otra (\( q \to r \)) se hace exactamente igual.

¿En este caso \( p \) es \( (u\land\overline{v}\neq0_B) \), \( q \) es \( (\overline{u}\land v\neq0_B) \) y \( r \) es \( p \)?

Citar
Veamos que \( V\subseteq h(u) \), o sea que para todo \( p\in V \) debe pasar \( p\in h(u) \). Si \( p\in V \) y como \( V\in P(A) \), luego \( V\subseteq A \), de donde \( V=\{v_1,\dots,v_n\} \) es un conjunto formado por átomos de \( B \). Sea \( u=v_1\land\dots\land v_n \). Claramente \( v_i\preceq u \) para todo \( i=1,\dots,n \), ¿y luego cómo hago aparecer a \( p\in h(u) \)?

AGREGADO Ahhh, se deduce eso porque como \( p\in V \) luego \( p\leq v_i \), y como mostramos que \( v_i\leq u \) luego \( p\leq u \) de donde \( p\in h(u) \). ¿Está bien?

Pues es más sencillo aún que eso. Si \( p \in V \), como \( V = \{v_1, \dots,v_n\} \), quiere decir que \( p = v_i \) para algún \( i \). Y como \( v_i \leq u \) para todo \( i \), automáticamente tienes \( p \leq u \).

Vale... a ver si la prueba queda:

Veamos que \( V\subseteq h(u) \), o sea que para todo \( p\in V \) debe pasar \( p\in h(u) \). Si \( p\in V \) y como \( V\in P(A) \), luego \( V\subseteq A \), de donde \( V=\{v_1,\dots,v_n\} \) es un conjunto formado por átomos de \( B \). Sea \( u=v_1\land\dots\land v_n \). Debe pasar que \( p = v_i \) para algún \( i \). Y como \( v_i \leq u \) para todo \( i \), luego \( p\leq u \) y como \( p \) es un átomo, entonces \( p\in h(u) \).

Sí, y es exactamente lo que hace. No sé por qué dices que no lo entiendes.

Pues porque había escrito "Recíprocamente", cuando era todo lo mismo, pensaba que para la ida hacía ciertos pasos y para la vuelta otros pasos.

La idea es muy sencilla: los átomos de \( B \) que son menores o iguales que \( 1_B \) son todos los átomos (pues cualquier elemento del álgebra es menor o igual que \( 1 \)). Luego \( h(1_B)=A \). Que es lo que queríamos, porque \( 1_{P(A)}=A \).

Ok. A ver si lo entendí: como todos los átomos se encuentran por debajo del último elemento \( 1_B \), eso quiere decir que el conjunto de átomos de \( B \) que están por debajo de \( 1_B \) es precisamente \( A \), donde \( A \) es el conjunto de átomos de \( B \). ¿Lo entendí bien?

\( p \in h(u \wedge v) \) si y solo si \( p \) es un átomo y \( p \leq u \wedge v \) si y solo si \( p \) es un átomo, \( p \leq u \) y \( p \leq v \) si y solo si \( p \in h(u) \) y \( p \in h(v) \) si y solo si \( p \in h(u) \cap h(v) \).

Excelente. Muy claro. Gracias!

Saludos

25 Junio, 2020, 12:22 am
Respuesta #18

geómetracat

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Cita de: manooooh
¿En este caso \( p \) es \( (u\land\overline{v}\neq0_B) \), \( q \) es \( (\overline{u}\land v\neq0_B) \) y \( r \) es \( p \)?

No sé quién es el \( p \) al que te refieres cuanso dices \( r \) es \( p \). Pero en cualquier caso \( r \) sería \( h(u) \neq h(v) \) (y \( p,q \) los que dices).

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Vale... a ver si la prueba queda:

Veamos que \( V\subseteq h(u) \), o sea que para todo \( p\in V \) debe pasar \( p\in h(u) \). Si \( p\in V \) y como \( V\in P(A) \), luego \( V\subseteq A \), de donde \( V=\{v_1,\dots,v_n\} \) es un conjunto formado por átomos de \( B \). Sea \( u=v_1\land\dots\land v_n \). Debe pasar que \( p = v_i \) para algún \( i \). Y como \( v_i \leq u \) para todo \( i \), luego \( p\leq u \) y como \( p \) es un átomo, entonces \( p\in h(u) \).

Bien.

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Pues porque había escrito "Recíprocamente", cuando era todo lo mismo, pensaba que para la ida hacía ciertos pasos y para la vuelta otros pasos.

Ah, vale. En cualquier caso lo que planteabas está bien, puedes hacerlo de una vez usando equivalencias.

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Ok. A ver si lo entendí: como todos los átomos se encuentran por debajo del último elemento \( 1_B \), eso quiere decir que el conjunto de átomos de \( B \) que están por debajo de \( 1_B \) es precisamente \( A \), donde \( A \) es el conjunto de átomos de \( B \). ¿Lo entendí bien?

Sí, eso es.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Junio, 2020, 08:53 pm
Respuesta #19

manooooh

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Hola

No sé quién es el \( p \) al que te refieres cuanso dices \( r \) es \( p \). Pero en cualquier caso \( r \) sería \( h(u) \neq h(v) \) (y \( p,q \) los que dices).

Ok. Perdón pero no puedo asimilarlo :(.

Me ayudaría que podamos transcribirlo en forma simbólica, para así poder saber en qué momento sabemos que \( u\land\overline{v}\neq0_B\to h(u)\neq h(v) \) es verdadera por sí sola.

Tenemos:

Tenemos que \( h \) es inyectiva, pues si \( u,v\in B \) con \( u\neq v \), entonces \( u\land\overline{v}\neq0_B \) (o al revés, pero los dos casos se tratan igualmente). Como \( u\land\overline{v}\in B \) y ya hemos razonado que las álgebras finitas son atómicas, existe un átomo \( p<u\land\overline{v} \), con lo que \( p\in h(u)\color{red}\cap\color{black}\overline{h(v)} \), luego \( h(u)\neq h(v) \).

\( \forall u,v\in B\colon u\neq v\to\color{red}((u\land\overline{v}\neq0_B)\lor(\overline{u}\land v\neq0_B))\land(u\land\overline{v}\in B)\to\exists p\in P(A)\colon p<u\land\overline{v}\color{black}\to p\in h(u)\cap\overline{h(v)}\to h(u)\neq h(v). \)

¿Está bien traducido?

En segundo lugar, la duda que tengo es la parte en rojo.

Gracias y saludos

Agregado ¿Que \( h \) sea una función es parte de nuestra hipótesis? ¿Por qué no demostramos primero que \( h \) está bien definida (o sea que cumple existencia y unicidad)?

Para la existencia, dado \( u\in B \), hay que ver que existe un \( p\in P(A) \) tal que \( h(u)=p \).

Para la unicidad, dados \( u,v\in B \) y \( h(u),h(v)\in P(A) \), hay que ver que si \( h(u)=h(v) \) entonces \( u=v \). ¿No es así?