[marinavzqz]

Hola, ¿me podríais ayudar a resolver este ejercicio?. Muchas gracias.

Sea  \( \omega=e^{2\pi i/7} \) y consideramos la extensión \( \Bbb Q\subset L=\Bbb Q[\omega] \). Se pide probar que:

(a) La extensión \( \Bbb Q\subset L \) es de Galois y calcular su grado.
(b) Existe un automorfismo \( \sigma\in Gal(L/\Bbb Q) \) tal que \( \sigma(\omega)=\omega^3 \). ¿cuál es su orden en el grupo \( Gal(L/\Bbb Q) \)?

No se por donde cogerlo la verdad, si me pudieseis dar alguna.

CORREGIDO

[geómetracat]

Hola,

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

En particular, debes copiar los enunciados de los problemas con LaTeX. Las imágenes adjuntas son para gráficos o imágenes auxiliares, pero no para los enunciados.

También debes indicar qué has hecho o intentado y sobre qué tienes dudas. ¿Has sabido hacer algún apartado o tienes algunas ideas sobre cómo hacerlo, o no sabes ni por dónde empezar?

[geómetracat]

Para el a), recuerda que una extensión de cuerpos es de Galois si es separable y normal. En cuerpos de característica cero (como es tu caso) todas las extensiones son separables. Para ver que es normal, debes ver que el polinomio mínimo de \( \omega \) tiene todas sus raíces en \( \Bbb Q(\omega) \). El grado de la extensión es el grado del polinomio mínimo de \( \omega \).

Para el b), ve considerando potencias de \( \sigma \) hasta que llegues a la identidad. Como \( \sigma \in Gal(L/\Bbb Q) \), \( \sigma \) fija todos los elementos de \( \Bbb Q \) y queda totalmente determinado por \( \sigma(\omega) \). Ahora, \( \sigma(\omega)=\omega^3 \), \( \sigma^2(\omega) = \sigma(\sigma(\omega))=\sigma(\omega^3)=(\sigma(\omega))^3= \omega^9 = \omega^2 \)
donde he usado en la última igualdad que \( \omega^7=1 \). Sigur así hasta que llegues a un \( k \) con \( \sigma^k(\omega)=\omega \), lo que quiere decir que \( \sigma^k = id \) y por tanto \( k \) es el orden de \( \sigma \).

[marinavzqz]

no se que es lo que está mal, he intentado escribir subíndices y superíndices y al enviarlo se pone así, no se hacerlo mejor

[marinavzqz]

para acabar el a) el polinomio que me sale es \( x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \) es decir el polinomio ciclotómico \( \phi_7=\sum t^j \) cuyas raíces son las potencias \( \{\xi^j:1\leq j\leq 6\} \). ¿ y estas raíces están en Q no?(que es lo que tenia que ver)
y luego entonces el grado sería 6?

muchas gracias

[geómetracat]

Sí, salvo que lo que debes ver es que las raíces están todas en \( \Bbb Q[\omega] \) (que lo están porque las raíces son potencias de \( \omega \)), no en \( \Bbb Q \) (que no lo están).

[marinavzqz]

vale gracias
me preguntan también: 
(c) Consideramos el subgrupo \( H=<\sigma^3> \) de \( Gal(L/\Bbb Q) \). Si  \( L_H \) denota el cuerpo fijo de \( H \) entonces \( [L_H:\Bbb Q]=3 \) y \( L_H=\Bbb Q[\omega+\omega^{-1}] \).

(d) el polinomio minimo de \( \omega+\omega^{-1} \) es \( f=t^3+t^2-2t-1 \)

(e) el grupo de Galois de \( f \)es isomorfo a \( Z/3Z \)

Si alguien sabe como continuar lo agradecería

PD: se que estoy poniendo mal \( w^-1 \) pero no se que hago mal el código que pongo es: [ tex]w^-1[/tex] ( el espacio entre el primer [ y la t no lo estoy poniendo es para que veáis el codigo que pongo)

CORREGIDO.
Aquí puedes ver en detalle como se escriben bien las fórmulas:

Spoiler

(c) Consideramos el subgrupo [tex]H=<\sigma^3>[/tex] de [tex]Gal(L/\Bbb Q)[/tex]. Si  [tex]L_H[/tex] denota el cuerpo fijo de [tex]H[/tex] entonces [tex][L_H:\Bbb Q]=3[/tex] y [tex]L_H=\Bbb Q[\omega+\omega^{-1}][/tex].

(d) el polinomio minimo de [tex]\omega+\omega^{-1}[/tex] es [tex]f=t^3+t^2-2t-1[/tex]

(e) el grupo de Galois de [tex]f[/tex]es isomorfo a [tex]Z/3Z[/tex]

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