[Pa]

Hola!
Estaba leyendo que todos los subespacios de \( \mathbb{R}^2 \) son de la forma ax+by=0 ( exceptuando el espacio nulo y \( \mathbb{R}^2 \)).
Alguien me podría dar una idea de cómo demostrarlo?

[geómetracat]

Sea \( L \subseteq \Bbb R^2 \) un subespacio vectorial. Como \( 0 \leq \dim(L) \leq \dim(\Bbb R^2) = 2 \), o bien \( \dim(L)=0 \) y entonces \( L \) es el espacio nulo, o bien \( \dim(L)=2 \) y entonces \( L= \Bbb R^2 \), o bien \( \dim(L)=1 \).
En este último caso, sea \( L=\langle (a,b) \rangle \). Entonces \( L \) consiste en los vectores múltiplos de \( (a,b) \) es decir, de la forma \( (\lambda a, \lambda b) \) con \( \lambda \in \Bbb R \).
Pero estos son precisamente los vectores \( (x,y) \) que satisfacen la ecuación \( bx-ay=0 \).

Recíprocamente, puedes ver que toda ecuación del tipo \( ax+by=0 \) (con \( a,b \) no ambos cero) es la ecuación de un subespacio vectorial de dimensión \( 1 \). De hecho, \( L=\langle (-b,a) \rangle \).

[Pa]

Muchas gracias por responder!
En la primera parte me confundí, entiendo que esos vectores satisfacen la ecuación bx-ay=0 pero porque se toma exactamente esa ecuación? No podrían existir otras ecuaciones (cuadráticas por ejemplo) que también se satisfacen tomando estos mismos vectores?

[Fernando Revilla]

No podrían existir otras ecuaciones (cuadráticas por ejemplo) que también se satisfacen tomando estos mismos vectores?

Lo que te piden es demostrar que todo subespacio de \( \mathbb{R}^2 \) de dimensión \( 1 \) de puede expresar como soluciones de la ecuación \( ax+by=0 \). Bien, esto no descarta que se puedan expresar de otra forma. Por ejemplo la ecuación \( ax^2+2abxy+b^2y^2=0 \) es equivalente a \( (ax+by)^2=0 \) que a su vez es equivalente a \( ax+by=0 \).

Nota. Las equivalencias entre las ecuaciones escritas son en cuanto al conjunto de las soluciones, no en cuanto a su multiplicidad algebraica.

[Pa]

Entiendo. Muchísimas gracias!