[athairdos]

Hola; tengo la siguiente duda teórica.

Dado un hiperplano en \( \mathbb{R^3} \) de ecuación \( ax+by+cz=0 \), a partir de las coordenadas homogeneas del mismo se puede expresar la ecuación del espacio que lo contiene (en este.caso \( \mathbb{R^3} \)) como suma lineal del hiperplano más el subespacio unidimensional dado por los múltiplos del vector normal al hiperplano (\( \lambda*(a, b, c) \) ó \( z*(a, b, c) \)?

Spoiler

En particular, tambíén tengo.la duda respecto.de.qué ocurre con lo.anterior en el.caso de una traslación de un hiperplano por el.origen, pero.en todo caso la dejo para otra pregunta por separado.

Para desobstaculizar la lectura, todos los signos espurios han sido eliminados desde la administración.

[cerrar]

En particular, tambíén tengo la duda respecto de qué ocurre con lo anterior en el caso de una traslación de un hiperplano por el origen, pero en todo caso la dejo para otra pregunta por separado.
Gracias de antemano.
Saludos.

[feriva]

Hola; tengo la siguiente duda teórica.

Dado un hiperplano en \( \mathbb{R^3} \)  de ecuación \( ax+by+cz=0 \), a partir de las coordenadas homogeneas del mismo se puede expresar la ecuación del espacio que lo contiene (en este.caso \( \mathbb{R^3} \)) como suma lineal del hiperplano más el subespacio unidimensional dado por los múltiplos del vector normal al hiperplano (\( \lambda*(a, b, c) \) ó \( z*(a, b, c) \)?

Hola

Entiendo esto:

En \( \mathbb{R}^{3}
  \) el hiperplano es un plano. como por ejemplo puede ser \( x+y+z=0
  \)   (tomo un caso particular para explicarlo).

Como es un plano, tomamos dos parámetros y lo expresamos con paramétricas:

\( x=\lambda
  \)

\( y=\beta
  \)

\( z=-\lambda-\beta
  \)

El vector genérico es entonces \( (\lambda,\beta,-\lambda-\beta
  \).

Haciendo, por ejemplo, lambda 1 y beta cero, un vector es \( (1,0,-1)
  \); y haciendo lambda cero y beta uno otro vector (linealmente independiente) es \( (0,1,-1)
  \).

Lo que creo que te dice es que puedes buscar uno perpendicular a los dos (por ejemplo mediante el producto vectorial) y la perpendicularidad garantiza que éste sea LI con ambos; de manera que tienes tres vectores LI, digamos v,w,u, tales que puedes representar la ecuación del espacio de \( \mathbb{R}^{3}
  \) con ellos y un punto, mediante unas letras cualesquiera para los escalares:

\( (x,y,z)=p+\lambda v+\beta w+\mu u
  \).

Saludos.

[athairdos]

Gracias! Hay varias cuestiones que me surgen a partir de la respuesta.

Por ej., todo mi.conocimiento (muy poco) tenía por.punto de partida el considerar la ecuación de un hiperplano (un plano, en el ejemplo de \( \mathbb{R^3} \))\( ax+by+cz=0 \) (incluída eventualmente \( x+y+z=0 \)) y, tomando el vector normal: \( (a, b, c) \) ó \( (1, 1, 1) \) en el segundo caso y, aprovechando el.caso particular de calcular 2 vectores ortogonales al mismo para los casos de los planos \( x=0 \) y \( y=0 \), por ejemplo, formar la expresión del.hiperplano como.c.l de los vectores así obtenidos (\( x*(c, 0, -a)+y*(0, -c, b) \), etc.).

En el.caso del vector normal \( (a, b, c) \), se obtienen los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, -c, b) \); mientras q en el caso de \( (1, 1, 1) \), se pueden obtener los vectores q tu escribes; es decir, \( (1, 0, -1) \) y \( (0, 1, -1) \).

Hay otras cuestiones interesantes (para mi, al menos) para comentar. Por ahora me limito a una más. Cuando escribes la expresión del espacio sumándo un punto, es para contemplar la posibilidad de traslación del hiperplano inicial?

saludos

[feriva]

Gracias! Hay varias cuestiones que me surgen a partir de la respuesta.

Por ej., todo mi.conocimiento (muy poco) tenía por.punto de partida el considerar la ecuación de un hiperplano (un plano, en el ejemplo de \( \mathbb{R^3} \))\( ax+by+cz=0 \) (incluída eventualmente \( x+y+z=0 \)) y, tomando el vector normal: \( (a, b, c) \) ó \( (1, 1, 1) \) en el segundo caso y, aprovechando el.caso particular de calcular 2 vectores ortogonales al mismo para los casos de los planos \( x=0 \) y \( y=0 \), por ejemplo, formar la expresión del.hiperplano como.c.l de los vectores así obtenidos (\( x*(c, 0, -a)+y*(0, -c, b) \), etc.).

En el.caso del vector normal \( (a, b, c) \), se obtienen los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, -c, b) \); mientras q en el caso de \( (1, 1, 1) \), se pueden obtener los vectores q tu escribes; es decir, \( (1, 0, -1) \) y \( (0, 1, -1) \).

Hay otras cuestiones interesantes (para mi, al menos) para comentar. Por ahora me limito a una más. Cuando escribes la expresión del espacio sumándo un punto, es para contemplar la posibilidad de traslación del hiperplano inicial?

saludos

Hola.

El ejemplo particular lo he puesto un poco por ilustrar lo que pasa, pero te dan una ecuación general; entonces tampoco hace falta darle muchas vueltas, basta cualquier ejemplo particular y ya sabes que va a existir eso en general.

La escribo con el punto para que tenga sentido como ecuación vectorial.
Como se refiere a una ecuación homogénea, podríamos no ponerlo y sobreentender que elegimos el punto  (0,0,0); pero aunque no lo pongas... tiene que estar para que la ecuación quede bien escrita.

Saludos.

[athairdos]

Gracias!