No has respondido a mi pregunta.
No había visto el png. La próxima vez pon la imagen dentro del texto o, mejor aún, traslada el enunciado a \( \LaTeX \). Para poner la imagen dentro del mensaje y que sea directamente visible lo que tienes que hacer es, una vez subida la imagen, copiar la dirección del enlace y enlazar la imagen dentro del mensaje, así:
Ahí lo que hacen es ver para qué valores de \( y \) de la imagen de \( g \) ocurre que la preimagen \( g^{-1}(y) \) tiene un único elemento (es decir, dónde \( g \) tiene una inversa local) y dónde no (es decir dónde la preimagen \( g^{-1}(y) \) es un conjunto con más de un elemento).
Lo que yo haría para hallar la función de densidad de \( Y \) es seguir el camino indicado en mi respuesta anterior, es decir
\( \displaystyle{
\begin{align*}
F_Y(c)&=F_X(c+3/4)-F_X(-c+3/4)\\&=\int_{-\infty }^{c+3/4}f_X(t) \mathop{}\!d t-\int_{-\infty }^{-c+3/4}f_X(t) \mathop{}\!d t\\
&=\int_{-\infty }^{c}f_X(t+3/4) \mathop{}\!d t-\int_{c}^{\infty }f_X(-t+3/4) \mathop{}\!d t\\[2ex]
&\therefore\quad f_Y(c)=f_X(c+3/4)+f_X(-c+3/4)\tag2
\end{align*}
} \)
donde para la conclusión he utilizado el teorema fundamental del cálculo y obviado el hecho de que posiblemente \( F'_Y(c)\neq f_Y(c) \) en un número finito de puntos, ya que el valor en esos puntos no cambia la distribución de \( Y \) (dicho de otro modo: el valor de la densidad en esos puntos es irrelevante). Sólo quedaría simplificar el resultado en (2) y ya está.
Mejorada redacción.
