[Hauss]

 
Hola, que tal, espero que estén bien, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Sean \( (X, d_{x}) \) y \( (Y, d_{y}) \) espacios métricos. Si existe una función \( f : X → Y  \) tal que \(  d_{x}(x,x′) = d_{y} (f(x),f(x′)) \) para cada \( x,x′ ∈ X \), pruebe que entonces X es isométrico a un subespacio de Y.

Mi problema es, conozco la definición de isometría, y me parece que es prácticamente la misma, pero no se como argumentar, o que hacer para poder concluir el ejercicio que se me presenta.

Muchas gracias por su ayuda de antemano.

[geómetracat]

Tienes que ver que hay una isometría de \( X \) en un subespacio de \( Y \). La isometría será \( f:X \to f(X) \) (es decir, la misma función pero restringiendo el recorrido). Para ser una isometría debe cumplir \( d_X(x,x')=d_{f(X)}(f(x),f(x')) \) que lo cumple por hipótesis ya que la distancia en el subespacio \( f(X) \) es la distancia inducida por la de \( Y \), y debe ser biyectiva. Exhaustiva lo es porque hemos restringido el recorrido a su imagen, y cualquier aplicación que preserve distancias es inyectiva ya que si \( f(x)=f(x') \) entonces \( 0= d(f(x),f(x'))=d(x,x') \) de donde se sigue que \( x=x' \).

[Hauss]

La isometría será \( f:X \to f(X) \) (es decir, la misma función pero restringiendo el recorrido).

Ese paso no me queda claro disculpa, ¿por qué podemos restingir la función?

[geómetracat]

Bueno, dada una función \( f:A \to B \) siempre tienes una función \( f:A \to f(A) \). Es la misma función, solamente que en vez de pensar que va a \( B \) piensas que va a su imagen \( f(A) \). Esta función con el recorrido restringido es automáticamente exhaustiva.

También puedes decir que \( f: X \to Y \) es una isometría en su imagen, es lo mismo. La cuestión es que \( X \) es isométrico al subespacio \( f(X) \) de \( Y \).

[Hauss]

Muy bien, muchísimas gracias.