[Hauss]

Hola amigos, que tal, espero estén bien.

Tengo un problema que no he podido resolver sobre conexidad, me piden demostrar que A={\( (x,y): x \in \mathbb{I} \vee y \in \mathbb{I} \)} es conexo

El problema original dice: “ Mostrar que el conjunto de puntos en el plano con al menos una coordenada irracional es un conjunto conexo en la métrica usual.”

Muchas gracias de antemano por su ayuda.

[Fernando Revilla]

El problema original dice: “ Mostrar que el conjunto de puntos en el plano con al menos una coordenada irracional es un conjunto conexo en la métrica usual.”

Puedes demostrar que \( A \) es conexo por caminos y por tanto, conexo. Por ejemplo, si \( (a,p) \) y \( (q,b) \) son elementos de \( A \) con \( p,q \) irracionales, unimos los dos puntos con la horizontal que va de \( (a,p) \) hasta \( (q,b) \) junto con la vertical que va de \( (q, p) \) a \( (q, b)  \). Cada punto del camino obtenido tiene al menos una coordenada irracional y por tanto está contenido en \( A \). ¿Sabrías analizar los restantes casos?

[Hauss]

Habría manera de demostrarlo usando solo definicion de conexidad (la que me han dado es que es conexo si no es disconexo), lo que sucede es que no he visto conexidad por caminos.

[Luis Fuentes]

Hola

Habría manera de demostrarlo usando solo definicion de conexidad (la que me han dado es que es conexo si no es disconexo), lo que sucede es que no he visto conexidad por caminos.

¿Qué resultados puedes usar? Por ejemplo:

1) La unión de dos conexos con un punto en común en conexa.
2) Si todo para de puntos de un conjunto está contenido en un conexo, el conjunto es conexo.

¿Alguno similar?. En realidad cualquiera de estos pequeños resultados es bastante rápido de probar de la definición; suelen demostrarse después de esta para poder probar conexidades con más agilidad.

Saludos.

[Hauss]

He revisado mis notas y en realidad ninguno de ellos. Solo hemos dado definición, verificado de \( \mathbb{R}^{2} \) es conexo y sobre la unión de conexos y es lo único que puedo usar.

Muchas gracias por la ayuda

[Luis Fuentes]

Hola

He revisado mis notas y en realidad ninguno de ellos. Solo hemos dado definición, verificado de \( \mathbb{R}^{2} \) es conexo y sobre la unión de conexos y es lo único que puedo usar.

¿Sobre la unión de conexos que resultado han probado?.

Y otra cosa que deberían de haberte probado es que un segmento es conexo. Es lo básico para demostrar otras conexiones.

Intenta probar tu los dos resultados que te he dicho; es un ejercicio sencillo.

Luego aplica (2) con la idea que te dio Fernando.

Saludos.

[Hauss]

Sobre unión , probamos que dada una familia de subconjuntos conexos con intersección diferente del vacio implica que la unión de la familia es conexa.

Otro fue que todo abierto en \( \mathbb{R} \) es unión numerable de intervalos abiertos.



Con las ideas que me ha planteado usted y Fernando si me queda claro como realizar la demostración, solo que no sé si me la cuente como válida.
¡Muchas gracias.!

[Luis Fuentes]

Hola

Sobre unión , probamos que dada una familia de subconjuntos conexos con intersección diferente del vacio implica que la unión de la familia es conexa.

¡Pero eso incluye que dos conexos con un punto en común es conexo!.

Entonces para tu ejercicio definie:

\( A_k=\{k\}\times \Bbb R\cup \Bbb R\times \sqrt{2} \) para cada \( k \) irracional

Spoiler

Son conexos por ser unión de dos conexos (dos rectas homeomorfas a \( \Bbb R \)) con un punto en común \( (k,\sqrt{2}) \)

[cerrar]

\( B_k=\Bbb R\times \{k\}\cup \sqrt{2}\times \Bbb R \) para cada \( k \) irracional

Spoiler

Son conexos por ser el motivo análogo al anterior.

[cerrar]

\( A_k\cup B_k \) es conexo por ser unión de conexos con un punto en común, el \( (\sqrt{2},\sqrt{2}) \)

Tu conjunto \( A \) es la unión:

\( A=\displaystyle\bigcup_{k\in \Bbb I}(A_k\cup B_k) \)

conexa por ser unión de una familia de conexos con un punto en común.

Saludos.

[Hauss]

Vaya, muchísimas gracias de verdad, no había interpretado bien el resultado que me han dado.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Es interesante hacer notar que no se usa ninguna propiedad especial de los irracionales. En consecuencia se pueden reproducir las demostraciones dadas sustituyendo \( \mathbb{I} \) por cualquier \( \emptyset \ne B\subset A \).