[Asdfgh]

Buenas! Tengo problemas con este ejercicio a ver si me podríais echar una mano.

Sea \( S \) superficie regular compacta contenida en una bola cerrada de centro el origen y radio \( r > 0 \). Considerando la función \( f:S\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(p)=\left |{p}\right |^2 \) para todo \( p \in S \). Sabiendo que \( Hess_{p_0}(f)(w)=2\{\left |{w}\right |^2+\lambda\left<{A_{p_0}(w),w}\right>\} \) para todo \( w \in T_{p_0}S \)

Probar que:

a) Si \( f \) alcanza en \( p_0 \) su máximo entonces \( K(p_0)\geq \frac{1}{\lambda ^2} \) con \( \lambda \neq 0 \) con \( K(p_0) \) curvatura de Gauss en el punto regular \( p_0 \)
b) Haciendo uso de que \( S \) está contenida en una bola cerrada de centro origen y radio positivo, entonces más concretamente: \( K(p_0)\geq \frac{1}{r^2} \).

Gracias por la ayuda!

[Asdfgh]

Creo que el primer apartado he conseguido resolverlo, decidme qué pensáis y ayudadme si podéis con el siguiente:

Para el a):

Sea \( p_0 \in S \) donde \( f \) alcanza su máximo. Tenemos que \( Hess_{p_0}(w)=2\{1+\lambda\left<{A_{p_0}(w),w}\right>\}\leq 0 \) para todo \( w\in T_{p_0}S \) con \( \left |{w}\right |=1 \).

Así para \( (w_1,w_2) \) base ortonormal tal que \( A_{p_0}(w_i)=k_i w_i, \ i=1,2 \) donde \( k_i \) son las curvaturas principales, tenemos entonces que:

\( 1+\lambda k_1 \leq 0 \Longrightarrow \lambda k_1 \leq -1 \)

\( 1+\lambda k_2 \leq 0 \Longrightarrow \lambda k_2 \leq -1 \)

\( (\lambda k_1)(\lambda k_2) \geq 1 \Longrightarrow k_1 k_2 \geq \frac{1}{\lambda^2} \Longrightarrow K(p_0) \geq \frac{1}{\lambda^2} \) ya que \( K(p_0)=k_1 k_2 \)

Para el b):

Creo que podría demostrar lo que me piden probando que \( \lambda < r \)

Por tanto tendríamos que \( K(p_0)\geq \frac{1}{\lambda^2} \geq \frac{1}{r^2} \)

Pero no se me ocurre cómo probarlo, alguna idea?