Autor Tema: Para que M sea un número triangular.

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29 Mayo, 2020, 10:10 pm
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manuel_david

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Hola a todos,

No es tanto una consulta técnica de cómo resolver un ejercicio, como una consulta "filosófica" acerca de cómo tengo enfocar Teoría Elemental de Números... Porque algo estoy haciendo mal... Muy mal.

Por recomendación de un buen amigo (y conocido profesor y youtuber), estoy leyendo el libro "A Friendly introduction to Number Theory".

El libro, aunque en inglés (ya podrían traducirlo al español) me está pareciendo espléndido, ameno y de lectura ágil...

El problema que tengo es que me está pasando con este libro lo mismo que me pasa con otros:

Leo el primer capítulo, profundizo todo lo mejor que puedo (o eso creo), aparentemente me entero de todo muy bien (eso creo), empiezo a ver con optimismo esa asignatura, y cuando llegan los ejercicios finales del capítulo... ¡Zas! Cura de humildad y vuelta a la cruda realidad.

El ejercicio que me ha dejado (anímicamente) tocado pide rellenar esta frase:

(Traduzco casi textualmente al español)

"M es un número triangular sí y sólo sí (espacio a rellenar) es un cuadrado impar".

Pues bien: le he dado vueltas y más vueltas, he revisado el capítulo, sólo me ha faltado hacer el pino... Yo no he sido capaz de sacarlo.

En la edición que poseo del libro no hay solucionario, de modo que he buscado el ejercicio por internet y he encontrado la solución y explicada (creo que no tendré problema en entenderla).

Lo que deseo saber (y os suplico que nada de mentiras piadosas)...

¿No debería de haber sido capaz de resolver el ejercicio con lo explicado en el capítulo correspondiente?

¿En todo manual de matemáticas, sea de la UNED (donde pienso o pensaba matricularme), o de dónde sea, no se presenta en cada tema o capítulo todo el material suficiente para afrontar  los ejercicios correspondientes?

Por cierto, tras ver por encima la solución (que 8M + 1 sea un cuadrado, o cuadrado impar... Lo de impar es obvio) sigo sin ver cómo podía haber llegado a ello, ni siquiera con el capítulo 1 correspondiente del libro.

A ver si alguien me orienta un poco, porque estoy entrando en una espiral que... Uffffff

Gracias a todos.

30 Mayo, 2020, 12:00 am
Respuesta #1

Suiron

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Jajajaja, no es por nada, pero vas a tener respuestas largas en masa... Pido disculpas de antemano porque intuyo que la mía va a ser una de esas respuestas densas. (Es más, tengo en mente varios puntos que sé que quiero incluir pero no sé ni cómo empezar para hilarlo todo más o menos bien.)

Digamos que hay un mix de muchos factores que influyen a la hora de considerar "si se ha aprendido algo" o "si se sabe hacer algo". Por ejemplo: memoria, ingenio, asimilación de los conceptos, práctica, etc. La realidad es que si bastara con leerse un capítulo bien escrito, entenderlo bien, ver varias demostraciones hechas y algún ejemplo para saber hacer todo lo demás, no quedarían problemas abiertos, nunca se habrían tardado milenios en responder ciertas preguntas y no hubiéramos necesitado a grandes genios por el camino.

Lo que vas a necesitar al final es mucho tiempo. Mucho tiempo para memorizar a base de leer, de practicar y de ejercer memoria bruta. Vas a tener que leer mucho, de muchos libros distintos para que aunque sea por saturación se te vayan quedando ideas ajenas, (aunque sean en su versión más simplificada) y vas a tener que sacar mucho los pies del tiesto haciéndote más preguntas de las que te hacen.

Vas a tener que quitarte el miedo a preguntar, a equivocarte e incluso a no saber seguir. Vas a tener que dedicarle tiempo a leer bien las matemáticas (suena tonto, pero es más profundo de lo que parece ya que muchas veces nos quedamos leyendo símbolos sin darles significado y nos acabamos entendiendo un proceso, pero sin saber qué hemos hecho). Vas a tener que buscar libros que incluyan los ejercicios hechos (no sólo con una solución escrita) o buscar ayuda para corregirlos.

Acabarás avanzando. Pero es que incluso cuando avances, puede que vuelvas atrás y vuelvas a quedarte estancado en algo que ya sobrepasaste...

Hay muchos factores, muchos más si entramos en temas sobre el sistema educativo, las universidades, lo que se exige y lo que se evalúa... Y, en definitiva, no pienses en avanzar a base de sacrificarte a una rutina de aislamiento en un escritorio. Dar tiempo para descansar de un problema ayuda más de lo que muchas veces consideramos. Los típicos consejos de dormir bien, hacer ejercicio y demás no son ninguna mentira.


PD: Lo resumo en esto, que había divagado bastante en otros temas que serían abrir un tema mucho más largo y peligroso.

01 Junio, 2020, 12:59 am
Respuesta #2

manuel_david

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Gracias. A ver si me cojo el tranquillo a la Teoría de Números de una vez...

01 Junio, 2020, 02:38 pm
Respuesta #3

feriva

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Hola, manuel-david.

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¿No debería de haber sido capaz de resolver el ejercicio con lo explicado en el capítulo correspondiente?

Pues quizá depende de lo que venga en el tema, pero creo que tienes razón. Esa forma de hacer una pregunta, en mi opinión, es poco matemática, porque a priori uno no sabe si el “relleno” que hay que poner tiene unicidad o no. Imagina que quitamos el “sólo y si sólo”; entonces, como un número triangular es la suma de una sucesión de números, de un conjunto, y ese conjunto tiene mínimo, podría decir que siempre que la suma sea un número triangular el mínimo de ese conjunto es un cuadrado impar, porque es el 1. No vale en tu caso, ya digo, porque pone un “sólo y si sólo”, pero a priori, con esa forma de preguntar, “rellene usted el enunciado”, uno no sabe si puede caber más de un “relleno” que sea correcto.
Distinto es que en otras cuestiones te puedan decir “demuestre la unicidad de tal cosa”, pero si es así los enunciados son muy precisos (en matemática siempre deben serlo en todo tipo de cuestiones) y el procedimiento que se estudia para demostrarlo también lo es. 


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¿En todo manual de matemáticas, sea de la UNED (donde pienso o pensaba matricularme), o de dónde sea, no se presenta en cada tema o capítulo todo el material suficiente para afrontar  los ejercicios correspondientes?


Yo estuve un UNED algún año y lo normal es que sí; pero después vas al examen... y no siempre, pues aparecen cosas que a lo mejor no vienen en el libro o no vienen con las mismas palabras.


Saludos.

01 Junio, 2020, 03:10 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Por cierto, tras ver por encima la solución (que 8M + 1 sea un cuadrado, o cuadrado impar... Lo de impar es obvio) sigo sin ver cómo podía haber llegado a ello, ni siquiera con el capítulo 1 correspondiente del libro.

No sé cuáles son los contenidos de ese capítulo, pero yo lo hubiese hecho así. Mira a ver si lo puedes relacionar con lo que tienes:

Entiendo por número triangular un número, \( M \), que se puede escribir como suma de los \( n \) primeros enteros positivos. Es decir:

\( M=1+2+3+...+n \)

Por la suma de los \( n \) primeros términos de la progresión aritmética:

\( M=\frac{n(n+1)}{2} \)

Y de aquí, resolviendo la ecuación de segundo grado:

\( n=\frac{1+\sqrt[ ]{8M+1}}{2} \)

Y para que esto sea entero \( 8M+1 \) debe ser un cuadrado perfecto.

Un saludo.