Buenas tardes, estoy realizando un ejercicio y me gustaría que me dijesen si está bien planteado: \( \)
Si \( \mathbb{S}^2 \) es la esfera de centro \( (0,0,0) \) y radio 1 y la aplicación \( F:\mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{S}^2 \) dada por \( F(x,y,z)=(x,y,-z) \) es un difeomorfismo de \( \mathbb{S}^2 \). Calcula \( (dF)_{(0,0,1)} \).
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La parte de comprobar que es un difeomorfismo ya la tengo hecha, me gustaría que me diesen el visto bueno o cómo mejorar en el caso de que haya algo mal, la parte de calcular las diferenciales, pongo lo que tengo hecho hasta ahora:
Sea \( p_0 \in \mathbb{S}^2 \) y calculamos la aplicación diferencial \( (dF)_{p_0} \).
Tomamos una curva diferenciable \( \alpha: (-\epsilon, \epsilon) \rightarrow \mathbb{S}^2 \) que cumpla que \( \alpha(0)=p_0 \) y \( \alpha'(0) = w \) donde \( w \in T_{p_0}\mathbb{S}^2 \).
\( \beta'(0)=\dfrac{d}{dt}|_{t=0} F(\alpha(t))=F(\alpha'(0))=F(w) = (w_1,w_2,-w_3) \)
Definiremos la expresión del plano tangente de la esfera unidad para cada punto \( p \in \mathbb{S}^2 \): \( T_{p}\mathbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ <(x,y,z),p>=0\} \)
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Sea \( p_0=(0,0,1) \) y \( w\in T_{p_0}\mathbb{S}^2 \), el plano tangente de la esfera en ese punto vendrá definido como: \( T_{p_0}\mathbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ z=0\} \)
Por tanto \( (dF)_{(0,0,1)}(w)= (w_1,w_2,0) \)
Un saludo y gracias.
