Autor Tema: Diferencial de un difeomorfismo en la esfera

0 Usuarios y 2 Visitantes están viendo este tema.

26 Mayo, 2020, 09:18 pm
Leído 502 veces

Asdfgh

  • Junior
  • Mensajes: 59
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas tardes, estoy realizando un ejercicio y me gustaría que me dijesen si está bien planteado: \(  \)

Si \( \mathbb{S}^2 \) es la esfera de centro \( (0,0,0) \) y radio 1 y la aplicación \( F:\mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{S}^2 \) dada por \( F(x,y,z)=(x,y,-z) \) es un difeomorfismo de \( \mathbb{S}^2 \). Calcula \( (dF)_{(0,0,1)} \).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

La parte de comprobar que es un difeomorfismo ya la tengo hecha, me gustaría que me diesen el visto bueno o cómo mejorar en el caso de que haya algo mal, la parte de calcular las diferenciales, pongo lo que tengo hecho hasta ahora:

Sea \( p_0 \in \mathbb{S}^2 \) y calculamos la aplicación diferencial \( (dF)_{p_0} \).
   
Tomamos una curva diferenciable \( \alpha: (-\epsilon, \epsilon) \rightarrow \mathbb{S}^2 \) que cumpla que \( \alpha(0)=p_0 \) y \( \alpha'(0) = w \) donde \( w \in T_{p_0}\mathbb{S}^2 \).

\( \beta'(0)=\dfrac{d}{dt}|_{t=0} F(\alpha(t))=F(\alpha'(0))=F(w) = (w_1,w_2,-w_3) \)

Definiremos la expresión del plano tangente de la esfera unidad para cada punto \( p \in \mathbb{S}^2 \): \( T_{p}\mathbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ <(x,y,z),p>=0\} \)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sea \( p_0=(0,0,1) \) y \( w\in T_{p_0}\mathbb{S}^2 \), el plano tangente de la esfera en ese punto vendrá definido como: \( T_{p_0}\mathbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ z=0\} \)

Por tanto \( (dF)_{(0,0,1)}(w)= (w_1,w_2,0) \)

Un saludo y gracias.

27 Mayo, 2020, 10:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,006
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino