[athairdos]

Hola, no se si la pregunta esta en la.sección adecuada o tal.vez debiera ir en la de Geometría (y topología). En todo caso, la formulo.

Dada la ecuación de un plano en \( \Bbb R^3 \) en la forma (de ecuación lineal homogénea): \( ax+by+cz=0 \); el plano en cuestión podría expresarse como (suma lineal) a partir de los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, c, -a) \) (pertenecientes a los planos \( y=0 \) y \( x=0 \), respectivamente)? Gracias de antemano. Saludos

[Fernando Revilla]

(0, c, -a)

¿Es correcto ese dato?

[athairdos]

No; gracias por la observación!! debí haber escrito \( (0, -c, b) \); la pregunta sería entonces si la suma lineal de los subespacios dados por los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, -c, b) \) genera el mismo plano que el dado por la ecuación \( ax+by+cz=0 \)...saludos!

[Fernando Revilla]

No; gracias por la observación!! debí haber escrito (0, -c, b); la pregunta sería entonced si la suma lineal de los subespacios dados por los vectores (c, 0, -a) y (0, -c, b) genera el mismo plano que el dado por la ecuación ax+by+cz=0...saludos!

Los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, -c, b) \) pertenecen al plano vectorial dado. Si \( c\ne 0 \), son linealmente independentes y al ser el plano un subespacio de dimensión \( 2 \) esos dos vectores forman base del plano. En consecuencia, dicho plano se puede expresar en la forma:

        \( (x,y,z)=\alpha (c, 0, -a)+\beta (0, -c, b),\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}. \)

Si \( c=0 \), no es posible expresar el plano en la forma requerida.

[athairdos]

Pd: tal vez podría ser una suma lineal de la forma \( \lambda_1(c, 0, -a)+\lambda_2(0, -c, b)=(\lambda_1c, -\lambda_2c, -\lambda_1a-\lambda_2b) \); expresando el plano en cuestión en términos de coordenadas homogéneas; la pregunta apuntaba a si, una vez obtenidas las coordenadas homogéneas del plano (suponiendo por ej. que lo anterior fuera correcto), a partir de allí se pudiera pensar en pasar a coordenadas afines (o a una traslación del plano inicial por el origen). Gracias; cualquier observación es de utilidad.

PD2: justo cuando estaba por publicar este comentario, que era una pd...dvertí que había una nueva respuesta; gracias por la misma! En el comentario presente amplio un poco la.pregunta...gracias nuevamemte!!

[Fernando Revilla]

... expresando el plano en cuestión en términos de coordenadas homogéneas ...

Pero eso no tiene sentido. En tal caso, \( ax+by+cz=0 \) representaría una recta en el espacio proyectivo \( \mathbb{P}_2 \).

[athairdos]

Gracias! La expresión \( (x,y,z)=\alpha(c,0,−a)+\beta(0,−c,b) \), \( \alpha,\beta\in \Bbb R \) permite expresar una recta proyectiva en \( \Bbb P^2 \)? \( \alpha \) y \( \beta \) representan las coordenadas homogéneas de la misma (o sea, determinan conjuntamente la \( dim=n+1 \) asociada a la dim(=1) proyectiva de la recta en cuestión) y a partir de las mismas se puede deducir el punto del infinito de la recta (que seria el correspondiente al caso en que uno de los \( 2 \) vectores de la Base del plano dado por \( ax+by+cz=0 \), tome la coordenada homogenea 0)?

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias! La expresión \( (x,y,z)=\alpha(c,0,−a)+\beta(0,−c,b) \), \( \alpha,\beta\in \Bbb R \) permite expresar una recta proyectiva en \( \Bbb P^2 \)?

Si.

\( \alpha \) y \( \beta \) representan las coordenadas homogéneas de la misma (o sea, determinan conjuntamente la \( dim=n+1 \) asociada a la dim(=1) proyectiva de la recta en cuestión)

Serían las coordenadas en la referencia proyectiva de la recta dada por los puntos \( [c,0,-a],[0,-c,b] \) y punto unido \( [c,-c,-a-b]. \)

y a partir de las mismas se puede deducir el punto del infinito de la recta (que seria el correspondiente al caso en que uno de los \( 2 \) vectores de la Base del plano dado por \( ax+by+cz=0 \), tome la coordenada homogenea 0)?

mmmm... depende. Ten en cuenta que el punto del infinito de una recta depende de la carta afín que se maneje. Proyectivamente todos los puntos de una recta son iguales. El concepto de punto del infinito aparece cuando uno toma un abierto afín de la misma, dejando precisamente fuera un punto que pasa a ser el del infinito.

Si la estás pensando como una recta en \( \Bbb  P^2 \) lo lógico es que el el plano proyectivo escojas una carta afin, es decir, una recta de puntos del infinito (un plano de \( \Bbb R^3 \)). Lo normal suele ser tomar el \( z=0 \). En ese caso el punto del infinito de tu recta no sería los que dices, sino que se hallaría igualando la coordenada \( z \) a cero.

Saliudos.

P.D. Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Por esta vez te he corregido las fórmulas desde la administración.

[athairdos]

Gracias por la respuesta! Es muy.buena porque expone el hecho de que se puedan tomar varias cartas afines ( ayer encontre online un capítulo de un libro en el que da ejemplos de varias cartas afines tomadas en un plano proyectivo dado).

En el libro de algebra de Birkhoff se menciona  el isomorfismo entre el grupo de las transformaciones afines como transformaciones lineales seguidas de una traslación, y el grupo de las matrices orladas (n+1)x(n+1) que incluyen la trasformación lineal y el vector \( \vec{k} \) de traslación; según comprendo hasta ahora, tal isomorfismo estaría asociado a las especificaciones de la carta afín.

Me disculpo por haber repreguntado en el hilo actual, sobre temas un tanto distintos al tema original del título. He leído las reglas del foro y leí acerca de emplazar cuestiones distintas en hilos distintos.

Saludos