Autor Tema: Negación de una definición.

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23 Mayo, 2020, 01:40 pm
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S.S

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Hola a todos.  estoy revisando la teoría de anillos y me encontré la definición de dominio de integridad, que dice lo siguiente:

\( 1. \)Si R es un anillo conmutativo. Entonces \( a\neq{0} \) que pertenece a R es un divisor de cero si existe \( b\neq{0} \) tales que \( ab = 0 \).

\( 2. \)Un anillo conmutativo R es un dominio de integridad si no tiene divisores de cero.

Para hacer la negación es que tengo problemas, yo la intenté así:

\( 3. \) R \( no \) es un dominio de  integridad si sólo si para cada  \( a\neq{0} \)  y para cada \( b\neq{0} \) entonces   \( ab\neq0 \).  Suponiendo que esta bien;  no sé bajo que fundamento puedo colocar las palabras marcadas con rojo. ¿dónde puedo hallar un explicación a esto? ¿por qué no niego \( b\neq{0} \)?

Otra cuestión es que he visto lo siguiente:
\( 4. \) R es un dominio de integridad si para cada \( a,b \in R \) si \( a.b = 0  \) entonces \( a = 0  \) o \( b = 0  \). ¿Cómo concordar la definición \( 2 \) con la \( 4 \)?

23 Mayo, 2020, 03:24 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Es al revés. \( R \) es dominio de integridad si para todo \( a \neq 0, b \neq 0 \) se tiene \( ab \neq 0 \).

\( R \) no es dominio de integridad si tiene algún divisor de cero. Es decir, \( R \) no es dominio de integridad si existe un \( a \neq 0 \) y un \( b \neq 0 \) tal que \( ab=0 \).

Sobre lo último. Si \( ab = 0 \) pero tienes \( a \neq 0 \) y \( b \neq 0 \) entonces \( a \) es un divisor de cero por lo que no es dominio de integridad según la primera definición. Y al revés, si \( R \) no es dominio de integridad según la primera definición entonces tiene un divisor de cero, digamos \( a \). Entonces \( a \neq 0 \) y existe \( b \neq 0 \) tal que \( ab=0 \). Por tanto no se cumple que \( ab=0 \) implica \( a=0 \) o \( b=0 \) y \( R \) no es dominio de integridad según la última definición.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Mayo, 2020, 11:59 pm
Respuesta #2

S.S

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Si hay un error (es al reves). Creo entender que por medio de la definición \( 2 \) probó la \( 4 \), esto lo ejecutó por medio la prueba de los contrarreciprocos en la definición \( 4 \). Gracias, quisiera encontrar un libro de lógica que me sirva para estudiar. ¿me puede sugerir algo?

24 Mayo, 2020, 01:46 am
Respuesta #3

geómetracat

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La verdad es que no se me ocurre ningún libro de lógica sencillo, lo siento. Tal vez otra persona te pueda ayudar con eso.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Mayo, 2020, 04:28 am
Respuesta #4

S.S

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