Autor Tema: Teorema de Cauchy y consecuencias.

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23 Mayo, 2020, 04:35 am
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Steven_Math

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Buenas noches, he tratado de resolver el siguiente ejercicio propuesto en el libro Bruce, Palka, An Introduction to Complex Theory(Pag 208, ejercicio 8,39). Pero no me ha sido posible resolverlo, les agradecería enormemente su ayuda.
   
Sea  \( \sigma\subset \mathbb{ C}  \) un dominio acotado del plano complejo y  \( f: \overline{\sigma} \to \mathbb{C} \)  una función no constante, continua en  \( \overline{\sigma} \)  y análitica en  \( \sigma \) . Si \(  |f(z)|=1  \) para todo \(  z\in \partial \sigma \) , entonces  \( f(\sigma)=\mathbb{D}=\{z \ : |z|<|\}  \).

23 Mayo, 2020, 05:26 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. ¿Intentaste seguir la pista? Para \( w\in \mathbf D \) considerar la función \( g(z)=\dfrac{f(z)-w}{1-\overline w\, f(z)} \) y mostrar que \( g \) tiene un cero dentro de \( \sigma \). Para ésto último aplica el principio del módulo máximo sabiendo que la función \( g \) tiene módulo 1 sobre \( \partial \sigma \).

23 Mayo, 2020, 05:31 am
Respuesta #2

Steven_Math

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Hola. ¿Intentaste seguir la pista? Para \( w\in \mathbf D \) considerar la función \( g(z)=\dfrac{f(z)-w}{1-\overline w\, f(z)} \) y mostrar que \( g \) tiene un cero dentro de \( \sigma \). Para ésto último aplica el principio del módulo máximo sabiendo que la función \( g \) tiene módulo 1 sobre \( \partial \sigma \).

Hola Gustavo, sí en el libro dan la sugerencia : Para mostrar que un elemento de arbitrario \( c \) de \( \mathbb{D} \) está en \( f(\sigma) \) mirar la función \( g(z)=\frac{f(z)-c}{1-\overline{c}f(z)} \) y, analizar lo siguiente si \( c\in\mathbb{C} \) con \( |c|<1 \) entonces \( |z+c|\leq |1+\overline{c}z| \) si y solo si \( |z|\leq 1 \). La igualdad se cumple si y solo si \( |z|=1 \) .
¿Cómo verificaría la otra contenencia?

23 Mayo, 2020, 06:07 am
Respuesta #3

Gustavo

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La otra contenencia se sigue del principio del módulo máximo aplicado a \( f \).