[ismaelppp]

Buenas, necesito ayuda con este problema de ecuaciones de onda. El problema es el siguiente:

Sea la siguiente ecuación de ondas:

\( \left\{ \begin{array}{lc} u_{tt} = u_{xx} +1 & (t,x) \in [0,\infty) \times [0,1]
\\ u(t,0) = u(t,1)=0 & t \in[0,\infty)
\\ u(0,x) = \phi(x) & x\in [0,1]
\\ u_t(0,x) = \psi(x) & x \in [0,1]    \end{array}\right. \)

- Demuestra que si \( \phi,\psi :[0,1]\to\mathbb R \), son de clase 2 y \( \phi''(0)=0 \) o \( \phi''(1)=0 \) el problema no tiene solución.

- Busca \( \phi,\psi :[0,1]\to\mathbb R \), funciones particulares de clase 2 con \( \psi''(0)=0=\psi''(1) \) tal que el problema tenga solución.

[geómetracat]

¿Qué problemas tienes con el ejercicio? ¿Qué has intentado, dónde te quedas atascado?

[ismaelppp]

Este problema es de una asignatura que tuve el año pasado, y no encuentro los apuntes donde tenia ejercicios resueltos de este tipo, y como ha pasado un año no me acuerdo muy bien de lo que había que hacer, así que si me pudieses dar una pista para arrancar, y yo ya hacerlo, me ayudaría bastante.

[geómetracat]

Para el primero, observa que \( u_{xx}(0,x) = \phi''(x) \), y de \( u(t,0)=u(t,1)=0 \) se sigue que \( u_{tt}(t,0)=u_{tt}(t,1)=0 \). Luego en particular, evaluando la ecuación diferencial en \( (0,0) \) y en \( (0,1) \), se obtiene:
\( 0=\phi''(0)+1 \) y \( 0=\phi''(1)+1 \).
De aquí ya debería estar claro el primero.

[ismaelppp]

Vale muchas gracias, sabía que tenía que ir por ese lado. Creo que el segundo podría sacarlo ya.