Hola, hasta ahorita se que la dimensión de una matriz de tamaño \( nxn \) es \( n^2 \), y tengo entendido que para encontrar la dimensión de un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita, tengo que ir tomando vectores linealmente independientes del subespacio vectorial y probar que estos generar el subespacio, pero si en ves de ser generador es un subespacio propio, entonces se le agrega otro vector linealmente independiente y se debe probar que es generador el conjunto con el vector linealmente independiente agregado, y así sucesivamente se puede hacer esto \( n \) veves(suponeniendo que la dimensión de el espacio vectorial es finita, supongamos que es \( n \)), es decir, en el momento en que ya no pueda agregar vectores linealmente independiente al conjunto, entonces ese número de vectores es la dimensión de el subespacio vectorial(supongamos que ese número es \( p \) y \( p\leq{n} \)). A lo mucho el subespacio vectorial es el mismo espacio vectorial. Espero me entienda. 😅
Aun no se ve nada sobre aplicacion lineal.
Gracias por su paciencia.
Gracias.
Te pongo priero un ejemplo de dimensión 4 =2x2
Sea \( M=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix} \) cualquier matriz 2x2
Está se genera por \( M=a_{11}\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end {bmatrix} + a_{12}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end {bmatrix} +a_{21}\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end {bmatrix} + a_{22}\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end {bmatrix} \)
Que son 4 vectores l.i. y no por menos ya que tenemos 4 variable independientes \( a_{11},a_{12},a_{21}\,y\,a_{22} \)
En el caso de matrices 3x3 son 9 variables independientes, en el caso de nxn son \( n^2 \) variables, que indican la dimensión.
Si tenemos una condición de traza cero, en el ejemplo 2x2 \( a_{11}+a_{22}=0\Leftrightarrow{}a_{11}=-a_{22} \)
Ya no necesitamos la matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \) para la base, se puede suprimir y obtener.
\( M'=\begin{bmatrix}{-a_{22}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix} \)
\( M'= a_{12}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end {bmatrix} +a_{21}\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end {bmatrix}+a_{22}\begin{bmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end {bmatrix} \).
En 3x3 quedaría la base : \( \begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} , \begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} , \begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} , \ldots ,\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)
Saludos.
P.D.:Vaya , se me acaba de adelantar Delmar, bueno, aporto como sería el caso 3x3.
