Necesito ayuda con este problema de ecuación de ondas, para ver si voy por buen camino.
Sea la siguiente ecuación de ondas: \( \left.
u_{tt} - u_{xx} = 1 \ \ \ con \ \ \ (t,x)\in [0,\infty)\times [0,1]\atop
u(t,0)=u(t,1)=0 \ \ \ con \ \ \ t \in [0,\infty)
\right\} \)
a) Busca una solución independiente de t.
b) Dado \( \phi , \psi: [0,1] \rightarrow R \) demostrar un principio de unicidad de solución de clase 2 para los datos iniciales.
a)
Para el primer apartado he hecho lo siguiente:
Buscamos una solución particular que solo depende de \( x \) por lo que debe satisfacer \( -u_p''(x)=1 \) y cumple las siguientes condiciones \( u_p(0)=u_p(1)=0 \). La solución general de la ecuación diferencial es del tipo \( u_p(x)=-\dfrac{x^2}{2}+Ax+B \ \ \ A,B\in R \). Aplicando los valores frontera, tenemos: \( A=\dfrac{1}{2}, B=0 \)
por tanto la solución independiente de \( t \) será: \( u_p(x)=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}x \)
Y para el apartado b) no sé como empezar.
Si alguien es tan amable de decir si está bien el primer apartado y cómo proceder con el segundo lo agradezco.
Un saludo.
