Autor Tema: Calcular diferencial de una esfera en un punto

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20 Mayo, 2020, 09:26 pm
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Asdfgh

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Buenas tardes!

Muy chulo el nuevo del diseño del foro!

Necesito un poco de ayuda con este ejercicio de curvas diferenciables.

Sea \( S^2 \) la esfera de centro (0,0,0) y radio 1, comprobar que \( F: S^2 \rightarrow S^2 \) dada por \( F(x,y,z)=(x,y,-z) \) es un difeomorfismo de \( S^2 \) e interpretarlo geométricamente.

El problema es que hasta ahora los ejercicios que he hecho para probar que existe un difeomorfismo han sido definiendolo como la composición de dos difeomorfismos y componiendo y las superficies entre las que se establecía el difeomorfismo estaban escritas como grafo.

Ahora bien, presentando el grafo de \( S^2=\{(x,y,z)\in R^3 \ : \ z^2+x^2+y^2=1\} \) no puedo/no sé extraer un difeomorfismo, ya que si despejo z, me saldría algo así: \( x_1: R^2 \rightarrow S^2 \) donde \( x_1(u,v)=(u,v,\pm \sqrt{1-u^2-v^2}) \) y no creo que \( x_1 \) sea un difeomorfismo.

Cualquier ayuda me es de utilidad.

Un saludo.


21 Mayo, 2020, 01:23 am
Respuesta #1

Masacroso

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Utiliza un atlas diferenciable para mostrar que es un difeomorfismo, es decir, si \( F \) es un difeomorfismo entonces para cada punto \( p\in S^2 \) hay cartas \( \alpha  \) y \( \gamma  \) del atlas con \( p\in \mathrm{dom}(\alpha ),\, F(p)\in \mathrm{dom(\gamma) }  \) y tienes que demostrar que \( \gamma  \circ F\circ \alpha ^{-1} \) es un difeomorfismo entre espacios euclídeos. Por ejemplo tienes las cartas diferenciables dadas por la proyección de una hemiesfera en un plano, como por ejemplo \( \alpha (x,y,z)=(x,y) \) para la hemiesfera dada por los \( (x,y,z)\in S^2 \) con \( z>0 \), o \( \beta (x,y,z)=(x,z) \) para los puntos de la esfera con \( y<0 \), con inversas \( \alpha ^{-1}(x,y)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}) \) y \( \beta^{-1}(x,z)=(x,-\sqrt{1-x^2-z^2},z) \), etc...

Así tienes un atlas de seis cartas y en tu caso muchas de las composiciones \( \gamma \circ F\circ \alpha ^{-1} \) son funciones lineales invertibles, por tanto difeomorfismos locales.

Corrección y aclaración.

21 Mayo, 2020, 01:59 am
Respuesta #2

Asdfgh

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A ver si lo entiendo.

Sería partir de la suposición de que \( F \) es un difeomorfismo por tanto \( \alpha \circ F \circ \alpha^{-1} \) será un difeomorfismo y viendo que \( \alpha \circ F \circ \alpha^{-1} \) entonces la hipótesis inicial es correcta?

Entiendo que el atlas puedo definirlo para \( \alpha \) o \( \beta \) indistintamente? por tanto sería equivalente probar lo primero para  \( \beta\circ F \circ \beta^{-1} \) o tengo que probar que se cumple para \( \alpha, \beta, \gamma \).

Donde definiría \( \gamma(x,y,z)=(y,z) \)

Esta idea tiene base en algún teorema o corolario?

Para finalizar cómo puedo calcular \( (dF)_{(0,0,1)} \)?

Muchas gracias!

21 Mayo, 2020, 06:02 am
Respuesta #3

Masacroso

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A ver si lo entiendo.

Sería partir de la suposición de que \( F \) es un difeomorfismo por tanto \( \alpha \circ F \circ \alpha^{-1} \) será un difeomorfismo y viendo que \( \alpha \circ F \circ \alpha^{-1} \) entonces la hipótesis inicial es correcta?

No. Se dice que una función \( F:M\to N \) entre variedades diferenciales \( M \) y \( N \) es un difeomorfismo si y solo si para cada punto \( p\in M \) existe una carta \( (U,\varphi ) \), con \( p\in U \), y una carta \( (V,\psi ) \) con \( F(p)\in V \) y \( F(U) \subset V \) tal que \( F_{\varphi ,\psi }:=\psi \circ F\circ \varphi ^{-1} \) es un difeomorfismo en el sentido clásico del término entre espacios euclídeos, es decir, que el jacobiano de \( F_{\varphi ,\psi} \) es no nulo en todo punto de su dominio (es decir, de \( U \)).

Esa es la definición de difeomorfismo entre variedades diferenciales, y eso es lo que tienes que demostrar para \( F \). En dimensión menor o igual a tres, si no recuerdo mal, todas las variedades diferenciales tienen una misma estructura diferencial, es decir, no es necesario especificar un atlas diferenciable específico porque todo atlas diferenciable es difeomorfo a cualquier otro (y es por eso por lo que en el problema no te dan ningún atlas para \( S^2 \)).

Hay atlas (diferenciables) muy conocidos para \( S^2 \): uno es el de las proyecciones de hemiesferas sobre un plano, como te decía antes, o si no otro atlas es el de las proyecciones estereográficas, dejé el otro porque me parece muchísimo más sencillo su tratamiento.

Citar
Entiendo que el atlas puedo definirlo para \( \alpha \) o \( \beta \) indistintamente? por tanto sería equivalente probar lo primero para  \( \beta\circ F \circ \beta^{-1} \) o tengo que probar que se cumple para \( \alpha, \beta, \gamma \).

Donde definiría \( \gamma(x,y,z)=(y,z) \)

Esta idea tiene base en algún teorema o corolario?

Para finalizar cómo puedo calcular \( (dF)_{(0,0,1)} \)?

Muchas gracias!

Mira te dejo el atlas al completo al que me refería antes, pero tendrás que repasar por tu cuenta definiciones básicas de geometría diferencial para tenerlo todo claro, como por ejemplo la definición de diferencial, etc... El atlas es el siguiente:

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\alpha_{+} (x,y,z):&=(x,y),\, z>0,\quad &\alpha _{-}(x,y,z):=(x,y),\,  z<0\\
\beta _{+}(x,y,z):&=(x,z),\, y>0,\quad &\beta _{-}(x,y,z):=(x,z),\, y<0\\
\gamma _{+}(x,y,z):&=(y,z),\, x>0,\quad &\gamma _{-}(x,y,z):=(y,z),\, x<0\\
\end{align*}
} \)

donde, por ejemplo, \( z>0 \) define el dominio de \( \alpha _{+} \) y quiere decir "todos los puntos de \( S^2 \) tales que \( z>0 \)". Con eso y la definición anterior de difeomorfismo tienes lo suficiente para demostrar que \( F \) es un difeomorfismo en \( S^2 \). Resuelve eso primero y luego veremos lo del diferencial.

21 Mayo, 2020, 10:08 am
Respuesta #4

geómetracat

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Al margen de lo que dice Masacroso, es muy útil conocer el resultado siguiente:
Si \( S,S' \) son superfícies regulares, y tienes una aplicación diferenciable \( f:S \to \Bbb R^3 \) tal que \( f(S) \subseteq S' \) entonces la aplicación \( f:S \to S' \) (es decir, la misma aplicación pero ahora pensada como aplicación que tiene como llegada la superfície \( S' \)) es diferenciable.

De hecho esto es un caso muy particular de un teorema mucho más general: Si \( M,N \) son variedades diferenciables, \( f: M \to N \) es diferenciable, \( S \) es una subvariedad (embedded) de \( N \) y \( f(M) \subset S \) entonces \( f:M \to S \) es diferenciable.

Con este resultado, tu problema es trivial. Está claro que tu \( F \), pensada como función \( \hat{F}:\Bbb R^3 \to \Bbb R^3 \) (definida por la fórmula que das) es diferenciable. Por tanto, su restricción \( F:S^2 \to \Bbb R^3 \) también es diferenciable (porque es la composición \( \hat{F} \circ j: S^2 \to \Bbb R^3 \), donde \( j:S^2 \to \Bbb R^3 \) es la inclusión) y finalmente por el teorema que he puesto, \( F: S^2 \to S^2 \) es diferenciable.

De todas formas, hayas visto o no este resultado, creo que es bueno que lo hagas como indica Masacroso, pues es muy importante coger soltura razonando con cartas y con la definición de aplicación diferenciable entre variedades. De hecho, para la demostración del resultado que he puesto se usan cartas (junto con la existencia de coordenadas adaptadas para subvariedades embedded).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)