A ver si lo entiendo.
Sería partir de la suposición de que \( F \) es un difeomorfismo por tanto \( \alpha \circ F \circ \alpha^{-1} \) será un difeomorfismo y viendo que \( \alpha \circ F \circ \alpha^{-1} \) entonces la hipótesis inicial es correcta?
No. Se dice que una función \( F:M\to N \) entre variedades diferenciales \( M \) y \( N \) es un difeomorfismo si y solo si para cada punto \( p\in M \) existe una carta \( (U,\varphi ) \), con \( p\in U \), y una carta \( (V,\psi ) \) con \( F(p)\in V \) y \( F(U) \subset V \) tal que \( F_{\varphi ,\psi }:=\psi \circ F\circ \varphi ^{-1} \) es un difeomorfismo en el sentido clásico del término entre espacios euclídeos, es decir, que el jacobiano de \( F_{\varphi ,\psi} \) es no nulo en todo punto de su dominio (es decir, de \( U \)).
Esa es la definición de difeomorfismo entre variedades diferenciales, y eso es lo que tienes que demostrar para \( F \). En dimensión menor o igual a tres, si no recuerdo mal, todas las variedades diferenciales tienen una misma estructura diferencial, es decir, no es necesario especificar un atlas diferenciable específico porque todo atlas diferenciable es difeomorfo a cualquier otro (y es por eso por lo que en el problema no te dan ningún atlas para \( S^2 \)).
Hay atlas (diferenciables) muy conocidos para \( S^2 \): uno es el de las proyecciones de hemiesferas sobre un plano, como te decía antes, o si no otro atlas es el de las
proyecciones estereográficas, dejé el otro porque me parece muchísimo más sencillo su tratamiento.
Entiendo que el atlas puedo definirlo para \( \alpha \) o \( \beta \) indistintamente? por tanto sería equivalente probar lo primero para \( \beta\circ F \circ \beta^{-1} \) o tengo que probar que se cumple para \( \alpha, \beta, \gamma \).
Donde definiría \( \gamma(x,y,z)=(y,z) \)
Esta idea tiene base en algún teorema o corolario?
Para finalizar cómo puedo calcular \( (dF)_{(0,0,1)} \)?
Muchas gracias!
Mira te dejo el atlas al completo al que me refería antes, pero tendrás que repasar por tu cuenta definiciones básicas de geometría diferencial para tenerlo todo claro, como por ejemplo la definición de diferencial, etc... El atlas es el siguiente:
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\alpha_{+} (x,y,z):&=(x,y),\, z>0,\quad &\alpha _{-}(x,y,z):=(x,y),\, z<0\\
\beta _{+}(x,y,z):&=(x,z),\, y>0,\quad &\beta _{-}(x,y,z):=(x,z),\, y<0\\
\gamma _{+}(x,y,z):&=(y,z),\, x>0,\quad &\gamma _{-}(x,y,z):=(y,z),\, x<0\\
\end{align*}
} \)
donde, por ejemplo, \( z>0 \) define el dominio de \( \alpha _{+} \) y quiere decir "todos los puntos de \( S^2 \) tales que \( z>0 \)". Con eso y la definición anterior de difeomorfismo tienes lo suficiente para demostrar que \( F \) es un difeomorfismo en \( S^2 \). Resuelve eso primero y luego veremos lo del diferencial.
