[NoeliaS]

Hola, ¿me orientan con esto?
Gracias

Sea \(  L \)  la recta generada por el vector \( u = (1, −1, 2) \) y sea W el plano de ecuación \( 2x + y − z − 0 \) en \( \mathbb{R}^3 \)
Sea \( P \) la proyección de \( \mathbb{R}^3 \) sobre \( W \), paralela a \( L \).
(a) Descomponer explícitamente \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3  \) como un elemento en la suma directa \( W \oplus L \)

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[Orientation]

Bueno no estoy del todo seguro de lo que pide el ejercicio pero creo que es asi:

\( \vec{u} = (1;-1;2) \), la recta \( r \in{\mathbb{R}^3} \) tiene como vector director a \( \vec{u} \), de modo que la ecuacion de dicha recta en la forma parametrica vectorial es: \( (x;y;z) = (x_0;y_0;z_0) + λ(1;-1;2) \), como el origen de coordenadas es punto de paso, nos queda: \( (x;y;z) = λ(1;-1;2) \). Esta es la ecuacion del subespacio \( L \).
Si igualamos componentes homologas nos queda que: \( x=λ \), \( y=-λ \), \( z=2λ \), luego cualquier vector perteneciente a \( L \) va a tener la forma \( (x;-x;2x) \)

Tambien tenemos que \( W = \left\{(x;y;z) / 2x + y - z= 0\right\} \), luego: \( z = 2x + y \) de modo que cualquier vector perteneciente a \( W \) va a tener la forma \( (x;y;2x+y) \)

Luego, recurrimos a la definicion de "Suma Directa": \( (\vec{w}+\vec{l}) \in{W⊕L} \Longleftrightarrow{} \vec{w} \in{W} \), \( \vec{l} \in{L} \) de modo que dicha suma es unica.
A partir de las formas anteriormente obtenidas para vectores de los subespacios L, W: \(  \vec{l}=(l_1;-l_1;2l_1) \), \( \vec{w}=(w_1;w_2;2w_1+w_2) \)
Realizamos la suma: \( (\vec{w}+\vec{l}) = (l_1;-l_1;2l_1) + (w_1;w_2;2w_1+w_2) = (l_1 + w_1;-l_1 + w_2;2l_1 + 2w_1+w_2) \) y este seria un vector de la suma directa planteada, de modo que al asignar valores a \( l1 \), \( w1 \) y \( w2 \) se obtienen los vectores del subespacio suma directa.

Podemos reescribir ese vector como combinacion lineal de un conjunto linealmente independiente: \( (l_1 + w_1;-l_1 + w_2;2l_1 + 2w_1+w_2) = l_1(1;-1;2) + w_1(1;0;2) + w_2(0;1;1) \), es evidente entonces que la base del espacio suma tiene tres vectores y por ende dicho subespacio es en si mismo \( {\mathbb{R}^3} \).

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \(  L \)  la recta generada por el vector \( u = (1, −1, 2) \) y sea W el plano de ecuación \( 2x + y − z − 0 \) en \( \mathbb{R}^3 \)
Sea \( P \) la proyección de \( \mathbb{R}^3 \) sobre \( W \), paralela a \( L \).
(a) Descomponer explícitamente \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3  \) como un elemento en la suma directa \( W \oplus L \)

Para hacer la descomposición explícita puedes seguir estos pasos:

1) Toma una base \( B \) formada por una base del plano y otra de la recta:

\( B=\{\underbrace{(1,0,2),(0,1,1)}_W,\underbrace{(1,-1,2)}_L\} \)

2) Escribimos cualquier vector \( (x,y,z) \) en la base \( B \), mediante la matriz de cambio de base:

\( M_{CB}=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\\{2}&{1}&{2}\end{pmatrix},\qquad M_{BC}=M_{CB}^{-1}=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\\{2}&{1}&{2}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}{3}&{1}&{-1}\\{-2}&{0}&{1}\\{-2}&{-1}&{1}\end{pmatrix} \)

\( M_{BC}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+y-z\\-2x+z\\-2x-y+z\\\end{pmatrix} \)

De forma que:

\( (x,y,z)=\underbrace{(3x+y-z)(1,0,2)+(-2x+z)(0,1,1)}_W+\underbrace{(-2x-y+z)(1,-1,2)}_L \)

Saludos.