Autor Tema: El homeomorfismo definido a partir de otros conjuntos

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02 Mayo, 2020, 03:14 am
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Jchavez

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Hola, soy aficionado a las matemáticas y tengo una pregunta, por lo que no se si esta bien planteada o si he cometido errores (seguramente si), pero creo que se expresa claramente mas o menos cual el problema.

Uso conceptos usados en topología como frontera e interior, y lo uso muy intuitivamente.

Me seria muy interesante si alguien conoce un articulo o área de las matemáticas que solucione este tipo de problemas, o si alguien propone la solución, ya que intuitivamente he podido imaginar ciertas soluciones, y propongo unas sin demostración porque no se como hacerlo, mas la que propongo ahí no me ha sido tan sencillo ni siquiera imaginandolo.

Agradezco mucho su atención y estoy pendiente de cualquier pregunta.

02 Mayo, 2020, 10:51 am
Respuesta #1

geómetracat

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Me parece interesante pero no me quedan claras algunas cosas y no sé si es problema de la escritura o mío.
Paso a las preguntas y observaciones.

1) Hablas continuamente de "el cardinal de la partición de la intersección". ¿Qué es "la partición de la intersección"? ¿Te refieres simplemente al cardinal de la intersección?

2) Defines tres nociones de contacto entre conjuntos, tocar, vincular y acceder,  que solo se diferencian en si los dos son acotados, uno es acotado y el otro no, o ninguno es acotado. Pero la acotación no parece jugar ningún papel en el problema que planteas, ¿no?

3) Cuando defines los conceptos de contacto entre conjuntos, solamente lo defines para cuando la intersección es finita. ¿Qué pasa si es infinita?
Por ejemplo, en tu ejemplo 1.3 la intersección de A y B es un círculo, que es infinito. Sin embargo en la lista tav lo apuntas como si solo tocaran en un punto. No lo entiendo.

4) Tampoco estoy seguro de entender bien la definición 1.6. ¿Qué quiere decir que de la lista tav se deduce que un conjunto es homeomorfo a X? (por cierto, si un conjunto es homeomorfo a un conjunto homeomorfo a X, también es homeomorfo a X). ¿Quieres decir que todo conjunto que aparece en la lista tav es homeomorfo a X?

5) ¿El problema que planteas es entonces demostrar que \( \Bbb R^3 \) se puede teselar por conjuntos homeomorfos a la bola cerrada?

Sobre el área de las matemáticas del problema, este problema es un problema de topología (general). Cuando aclares las preguntas y entienda bien el problema intento contestar y/o buscar referencias.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2020, 04:15 am
Respuesta #2

Jchavez

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1) Hablas continuamente de "el cardinal de la partición de la intersección". ¿Qué es "la partición de la intersección"? ¿Te refieres simplemente al cardinal de la intersección?

La definición de partición de un conjunto A, según la entiendo, es la colección de los subconjuntos contenidos en un conjunto A donde estos no se intersecan entre sí. Cuando me refiero al cardinal de la partición de la intersección de dos conjuntos quiero expresar que esta intersección se considera como conjunto, luego se define su partición y luego el cardinal de esta partición. Este es el cardinal que se requiere.

2) Defines tres nociones de contacto entre conjuntos, tocar, vincular y acceder,  que solo se diferencian en si los dos son acotados, uno es acotado y el otro no, o ninguno es acotado. Pero la acotación no parece jugar ningún papel en el problema que planteas, ¿no?

El toque, acceso y vinculo tienen definiciones muy similares, pero es importante plantearlo así para reconocer si los conjuntos son acotados o no acotados sin la necesidad de expresarlo cada vez, ya que según como se toquen, accedan o vinculen se sabe esto. Es por simplicidad.

3) Cuando defines los conceptos de contacto entre conjuntos, solamente lo defines para cuando la intersección es finita. ¿Qué pasa si es infinita?
Por ejemplo, en tu ejemplo 1.3 la intersección de A y B es un círculo, que es infinito. Sin embargo en la lista tav lo apuntas como si solo tocaran en un punto. No lo entiendo.

Aquí me refiero a que el cardinal de la partición de la intersección de A y B es 1.

4) Tampoco estoy seguro de entender bien la definición 1.6. ¿Qué quiere decir que de la lista tav se deduce que un conjunto es homeomorfo a X? (por cierto, si un conjunto es homeomorfo a un conjunto homeomorfo a X, también es homeomorfo a X). ¿Quieres decir que todo conjunto que aparece en la lista tav es homeomorfo a X?

Quiere decir que solo con saber la lista tav y que la colección tav esta contenida en algun \mathbb{n}, se puede saber que al menos uno de estos conjuntos es necesariamente homeomorfo a X y no a otro, pero como no se expresar bien que solo debe ser homeomorfo a X, entonces propongo la disyunción, pero creo que si podría eliminarse la disyunción.

5) ¿El problema que planteas es entonces demostrar que R3 se puede teselar por conjuntos homeomorfos a la bola cerrada?

La idea es cercana a los teselados, pero no se si exactamente lo mismo. El problema esta en demostrar que existe una lista tav de una colección tav donde al menos uno de los conjuntos que contiene es necesariamente homeomorfo a la bola cerrada. Lo planteo asi porque hay casos donde colecciones tav diferentes tienen la misma lista tav, como en tavG:(A|>B) y G⊆ℝ3, donde A puede ser homeomorfo a una bola cerrada o a un toroide, por lo que es una lista tav de dos colecciones tav distintas.

03 Mayo, 2020, 04:42 am
Respuesta #3

Jchavez

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Pongo algunos ejemplos

De la imagen tav1
tavG:(A||B, A|>C, B|>C)

De la imagen tav2
tavG:(2(C||B), A||B, A||C, C|>D, B|>D)

Espero así sea mas claro lo del cardinal de partición de la intersección de dos conjuntos.

03 Mayo, 2020, 09:31 am
Respuesta #4

geómetracat

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Vale, creo que ya sé lo que quieres decir. A lo que te refieres por "cardinal de la partición de la intersección" en realidad es "número de componentes conexas de la intersección" o si prefieres "cardinal del conjunto de componentes conexas de la intersección".

Lo de "partición de la intersección" no está bien dicho. Una partición de un conjunto \( A \) es una colección de subconjuntos no vacíos de \( A \), disjuntos dos a dos y tales que su unión es \( A \). Pero no hay una única partición de un conjunto, hay muchas distintas y con cardinales distintos. Por ejemplo, si \( A=\{1,2,3\} \), una partición sería \( \{\{1\},\{2,3\}\} \) y otra distinta sería \( \{\{1\},\{2\}, \{3\}\} \), y tienen cardinales distintos. Además de que hay muchas particiones de un conjunto, una partición es un concepto conjuntista, no topológico. Por eso lo que quieres decir son en realidad las componentes conexas.

Si lo que quieres es que algún conjunto de la lista sea homeomorfo a \( X \subseteq \Bbb R^n \), basta con tomar \( X \) y las componentes conexas de la clausuta de \( \Bbb R^n - X \), ¿no?
En el caso de la bola, por ejemplo, tendrías dos conjuntos, la bola cerrada y el conjunto de puntos fuera de la bola abierta.

Por cierto, que se me olvidó, ¿qué quiere decir tav?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2020, 03:29 pm
Respuesta #5

Jchavez

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Ah ok, si, exacto, lo que tu quieres decir estaría bien, malinterprete el concepto. Tav significa toque-acceso-vínculo.

Creo que con otro ejemplo puedo explicar mejor el problema.

Por ejemplo, si solo nos dan una lista tav de una colección tav G, como tavG:(A|>B), y nos dicen que G⊆ℝ3, y no dan ninguna otra información, hay dos colecciones tav que cumplen la lista tav, que son las dos imágenes que subo, donde A es una bola cerrada o un toro.

El problema está en que esto no suceda, sino que se dé una lista tav y que en todas las colecciones tav que cumplan con la lista tav, al menos uno de los conjuntos sea siempre una bola cerrada u homeomorfo a una bola cerrada.

En el ejemplo 1.1 del pdf, sin comprobar, sería la lista tav propia de una semirrecta. Pues, no hallo otra colección tav donde A no sea una semirrecta. La idea es hallar la lista tav propia de una bola cerrada.

03 Mayo, 2020, 05:11 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Ah, ya entiendo el problema.
No creo que haya una lista tav propia para la bola cerrada en \( \Bbb R^3 \), aunque no estoy totalmente seguro.
Por lo menos, seguro que no hay una lista finita. La idea es que si tienes una lista tav con un conjunto \( A \) de manera que \( A \) es homeomorfo a la bola cerrada, y hay algún otro conjunto \( B \) que corta a \( A \) en algún conjunto que contenga un disco de la superfície de \( A \), entonces puedes hacer un "túnel" en \( A \), con los extremos en dicho disco, de manera que ahora \( A \) es homeomorfo a un toro, pero tienes la misma lista tav que antes.

No sé si me explico muy bien, pero es una generalización del ejemplo que das en que puede ser una bola o un toro.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2020, 10:22 pm
Respuesta #7

Jchavez

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Si, entiendo, a toda bola se le puede hacer "un agujero" y volverlo un toro, pero es posible "encerrar" al conjunto y si se agrega otro conjunto "haciendo un agujero" tiene implicaciones en la lista tav. Por ejemplo:

tavG:(A||B, B|>C)



Si a la anterior se le agrega un conjunto que hace a la bola un toro, modifica la lista tav.

tavG:(A||B, B||D, 2(D||B), B|>C)



Esto igual tiene peros, pero las definiciones permiten usar ciertas estrategias.

Otra opción es usar varias colecciones tav, no solo una, como con los ejemplos que se ha hecho hasta el momento. Por ejemplo:

tav[tavG:(A||B, B||C, 2(A||C), C|>D), tavH:(C|>D, E||D)]




03 Mayo, 2020, 11:10 pm
Respuesta #8

geómetracat

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Si consideras el agujero como un conjunto nuevo sí se modifica la lista tav. Pero, si en la situación de tu imagen consideras el agujero junto al antiguo conjunto \( B \) tienes un nuevo conjunto \( B \) cerrado y conexo, y la lista tav es la misma. Eso prueba que únicamente a partir de la lista dada no se puede deducir que \( A \) es homeomorfo a la bola cerrada.

Sobre los últimos dos ejemplos, la verdad es que no he conseguido entenderlos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2020, 11:43 pm
Respuesta #9

Jchavez

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Si, el ejemplo no resuelve nada, pero es una estrategia en cierta manera. El agregar el conjunto D nos dice que al menos el conjunto A no es una bola. Pero, puede haber otra lista tav de la que se deduzca que A es necesariamente una bola. No es seguro aún que no.

Igualmente aclaro que el agregar conjuntos no lo hago en un conjunto especifico, solo lo agrego a la lista tav. Una lista tav puede ser de muchas colecciones tav distintas, las imágenes solo muestran una posibilidad.

El caso de que hay varias listas tav, como esta:

tav[tavG:(A||B, B||C, 2(A||C), C|>D), tavH:(C|>D, E||D)]

Son las listas tav de las colecciones tav G y H unidas en una sola expresión. Lo importante de esto es que si uno hace que se intersequen las colecciones tav G y H en un conjunto o varios (en el ejemplo son los conjuntos C y D), entonces estos conjuntos tanto en G y H son los mismos conjuntos, exactamente los mismo. Esto tiene ciertas implicaciones. Por ejemplo, si C contenido en G no puede ser una bola, en H tampoco lo es, y si C contenido en H no puede ser un toro, en G tampoco lo será.