Autor Tema: Probar que es una topología

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01 Mayo, 2020, 03:20 am
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manuvier

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Hola, podrían darme alguna pista de como probar las condiciones para las uniones y las intersecciones 
para que el conjunto \( \mathcal T \) sea una topología
Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) ,\( b\in{\mathbb{N^*}} \) y \(
N_\left\{{ab}\right\}=\left\{{a+nb:n\in{\mathbb{Z}}}\right\}
 \)
\( \mathcal T=\left\{{A\subset{\mathbb{Z}}:\forall{}k\in{}A\exists{a}\in{\mathbb{Z}}\exists{b}\in{\mathbb{N^*}},k\in{}N_\left\{{äb}\right\} {\subset{A}}}\right\} \)

01 Mayo, 2020, 03:58 am
Respuesta #1

Masacroso

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ACLARACIÓN Y CORRECCIÓN: lo que sigue es para demostrar que \( T \) es una \( \sigma  \)-álgebra. Despiste gordo, así que no es respuesta al ejercicio. Además como comenta geometracat más abajo no es cierto que esté cerrado bajo intersecciones numerables.

Una demostración esquematizada a la que le falta algún que otro detalle:

La condición te dice que si \( A\in T \) entonces existe un \( I_A\subset {\mathbb Z}^2 \) tal que \( A= \bigcup_{(a,b)\in I_A}N_{(a,b)} \). Claramente \( T \) está cerrado bajo la operación de unión contable ya que \( \bigcup_{k\geqslant 1}I_{A_k}\subset {\mathbb Z}^2 \), y obviamente también es un conjunto cerrado bajo intersección contable ya que \( \require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{N_{(a,b)}\subset \bigcap_{k\geqslant 1}A_k \Leftrightarrow N_{(a,b)}\subset A_k} \) para todo \( k \). De la misma manera es fácil de ver que \( {\mathbb Z}\in T \).

Ahora observa que \( N_{(a,b)}^\complement =\bigcup_{j=1}^{n}N_{(a+j,b)} \) para un \( n\in {\mathbb N} \) tal que \( N_{(a+j,b)}\cap N_{(a,b)}=\emptyset  \) para todo \( j\in\{1,\ldots,n\} \). Por tanto de las leyes de DeMorgan finalmente deduciríamos (si \( T \) estuviese cerrado bajo intersección contable, cosa que no es el caso) que si \( A\in T \) entonces \( A^\complement \in T \).

01 Mayo, 2020, 09:52 am
Respuesta #2

geómetracat

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Masacroso, creo que has confundido topología con \( \sigma \)-álgebra.
De todas formas, la topología no es cerrada bajo intersecciones numerables porque:
\( \displaystyle\bigcap_{b=1}^\infty N_{1,b} = \{1\} \) no es abierto.

Por un motivo parecido, aunque los \( N_{a,b} \) son todos abiertos y cerrados, no todo abierto de la topología es cerrado.

La parte más difícil es demostrar que la intersección finita de abiertos es abierta. Para ello basta con ver que la intersección de dos \( N_{a,b} \) es abierta.
Una observación muy útil es ver que si \( k\in N_{a,b} \) entonces \( N_{k,b} \subseteq N_{a,b} \). Con esto, la cuestión se reduce a ver que \( N_{k,b} \cap N_{k,c} \) siempre es abierto. Esto ya te dejo pensarlo.

Por cierto, esta topología en los enteros es la famosa topología de la prueba de Furstenberg de la infinitud de los primos. Espero que después de este ejercicio veas esa demostración.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Mayo, 2020, 04:58 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Ah, pues sí... Estaba pensando en una \( \sigma  \)-álgebra. Eso es lo que pasa cuando escribes a las tantas de las madrugada :D

02 Mayo, 2020, 02:53 am
Respuesta #4

manuvier

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Muchas gracias, leeré el teorema y seguire sus cugerencias