Autor Tema: Ejercicio de permutaciones

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01 Mayo, 2020, 12:48 am
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iNuGaM

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Hola, tengo el siguiente ejercicio en el cual estoy trabado:

Considere el conjunto A formado por todas las palabras que se obtienen de la permutación de las letras de la palabra DISCUTIBLE:
a) ¿Cuántas palabras del junto A tienen las I juntas, la E y la U juntas, y no tienen todas las vocales juntas?


Lo empecé razonando de la siguiente manera (para luego aplicar el principio de sustracción):
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Sea \( A \) = {conjunto de palabras que se obtienen permutando las letras de la palabra DISCUTIBLE}

1*) Contaremos la cant. de palabras del conjunto A que tienen, por un lado, las I juntas y por el otro la E y la U juntas.
Definamos 2 bloques:


\( X \) = { 2I } (bloque que contiene a las dos I), \( Y \) = {E,U} (bloque que contiene la E y la U).

Consideremos el conjunto \( S \) = {X, Y, D, S, C, T, B, L} que cumple lo buscado en 1*). El total de palabras es: \( |S| = 8! * (2!/2!) * 2 = 8! * 2 = 80.640 \) palabras que tienen las I juntas y por otro lado la E y la U juntas.

2*) Contaremos la cantidad de palabras del conjunto A que tienen todas las vocales juntas.
Consideremos el siguiente bloque: \( π \) = {2I, E, U} (bloque que contiene a todas las vocales de A).

Sea el conjunto \( Z \) = {\( π \), D, S, C, T, B, L} que cumple lo buscado en 2*). El total de palabras es \( |Z| = 7! * (4!/2!) = 60.480 \) palabras que tienen todas las vocales juntas.

Luego, por principio de sustracción, tengo que la cantidad de palabras del conjunto \( A \) que tienen las I juntas, la E  la U juntas, y no tienen todas las vocales juntas es: \( |S| - |Z| = 80.640 - 60.480 = 20.160. \)
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El problema es que el resultado me indica que la cant. es 2520, y no se en qué paso estoy errado.

Gracias.

01 Mayo, 2020, 02:43 am
Respuesta #1

Masacroso

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Has cometido un error al final: observa que son todas las vocales juntas pero en pares \( II \) y \( UE \) (o \( EU \)) por tanto \( \pi =\{(IIEU),(IIUE),(UEII),(EUII)\} \), quedando entonces \( |Z|=7!\cdot 4 \), y por tanto el total es \( 8!\cdot 2-7!\cdot 4=60480 \). Pero ojo, el resultado que te dan está mal también.

Podemos comprobar que lo anterior es el resultado correcto usando otro razonamiento: sea \( A:=\{D,S,C,T,B,L\} \), entonces \( |A|=6! \). Ahora bien: el número de palabras que tienen las vocales juntas en pares \( (I,I) \) y \( (U,E) \) (o \( (E,U) \)) sin que estos conjuntos sean adyacentes, es el número de formas distintas de insertar estos dos pares entre letras de las palabras generadas por el conjunto \( A \).

Como una palabra del conjunto \( A \) tiene seis letras entonces tiene siete huecos en donde poder insertar letras: hay \( 7\cdot 6 \) formas diferentes de insertar dos grupos de letras distintos, y si uno de los grupos tiene \( 2! \) posibles permutaciones distintas, entonces el total es \( 6!\cdot 6\cdot 7\cdot 2=7!\cdot 12=60480 \), que es lo mismo de antes.

01 Mayo, 2020, 07:22 am
Respuesta #2

iNuGaM

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