[athairdos]

Hola, tengo la siguiente consulta; el siguiente ejemplo es del libro de Algebra de Birkhoff; en el capitulo de Matrices y Transformaciones Lineales da el siguiente ejemplo:

\( I:(x,y)\to(x+y, x-y, 2x) \)

Explica, naturalmente, que consiste en una transformacion lineal que aplica V2(F) a V3(F).

Puesto que lo anterior se puede expresar, segun comprendo, en forma matricial del siguiente manera:

(x y) (1 1 2)
          (1 -1 0)...(los vectores fila representan una matrix 2x3)...

entiendo que, geometricamente hablando, la transformacion lleva el Plano ordinario R2 a un Plano por el origen en R3, cuyos vectores directores base son los vectores fila de la matriz rectangular.

La pregunta es si dicha transformacion, de un espacio de dimension=2 a un espacio de dimension 2 que es subespacio de un espacio de dimension=3 (R3) es un Homomorfismo (aplicando un calculo simple se ve que lleva el cero (0, 0) al cero (0,0,0); es decir, el neutro de los espacios vectoriales interpretados como Grupos Abelianos aditivos.

No se si se entiende la pregunta. Gracias de antemano. Saludos

[Ricardo Boza]

Hola,

Hola, tengo la siguiente consulta; el siguiente ejemplo es del libro de Algebra de Birkhoff; en el capitulo de Matrices y Transformaciones Lineales da el siguiente ejemplo:

I:(x,y)-->(x+y, x-y, 2x)

Explica, naturalmente, que consiste en una transformacion lineal que aplica V2(F) a V3(F).

Puesto que lo anterior se puede expresar, segun comprendo, en forma matricial del siguiente manera:

(x y) (1 1 2)
          (1 -1 0)...(los vectores fila representan una matrix 2x3)...

entiendo que, geometricamente hablando, la transformacion lleva el Plano ordinario R2 a un Plano por el origen en R3, cuyos vectores directores base son los vectores fila de la matriz rectangular.

La pregunta es si dicha transformacion, de un espacio de dimension=2 a un espacio de dimension 2 que es subespacio de un espacio de dimension=3 (R3) es un Homomorfismo (aplicando un calculo simple se ve que lleva el cero (0, 0) al cero (0,0,0); es decir, el neutro de los espacios vectoriales interpretados como Grupos Abelianos aditivos.

No se si se entiende la pregunta. Gracias de antemano. Saludos

Al margen de otros mensajes:

Realmente por convención los vectores se escriben en columnas, así que la matriz de la aplicación sería \( \begin{bmatrix}{1}&{1}\\{1}&{-1}\\{2}&{0}\end{bmatrix} \)

El espacio de llegada de una aplicación puede ser cualquiera, se puede tener una aplicación lineal de \( \mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2} \) dada por la matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \), pero también podrías tener una aplicación de \( \mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3} \) dada por la matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Ambas aplicaciones pueden ser inyectivas.

Una aplicación de \( \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 \) no puede ser inyectiva.

Esto lo digo porque parece que tu comentario va en la dirección de que "geométricamente" una aplicación \( \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 \) transforma un espacio de dimensión 2 en otro de dimensión 3. Bueno, no siempre. Tendrías que comprobar el rango de la aplicación.

Yo supongo (y esto es una idea muy vaga, pero la escribo para que se me corrija) que el conjunto de homomorfismos contiene en su interior homomorfismos aplicados entre distintos "espacios". Un subconjunto del conjunto de todos los homomorfismos son los homomorfismos aplicados a espacios vectoriales. Las aplicaciones lineales serían a priori un caso particular de homomorfismos aplicados a espacios vectoriales, puesto que cumplen con los requisitos para ser homomorfismo (ver definición) y a posteriori (creo) se vería además que dichas aplicaciones lineales son de hecho el único tipo de homomorfismos entre espacios vectoriales.

[athairdos]

Gracias por la.respuesta! El ejemplo.del libro tiene para la matriz 2x3.a 2 vectores ortogonales; creo entender lo del rango de la matriz q mencionas.

La pregunta apunta a definir qué tipo de transformacion implican las matrices rectangulares cuando aplican un espacio de dimension dada en otro de mayor dimensión. Voy a tratar de avanzar un poco en el.capitulo del oibro y después si puedo precisaré un  poco la pregunta. Saludos

[athairdos]

Pd: el ejemplo de las matrices que diste es muy bueno (llevando los vectores (1, 0) y (0,1) a (1,0,0) y (0,1,0), respectivamente)!

[athairdos]

Hola, me quedaron algunas dudas de unos calculos que estuve haciendo. Si se multiplica una matriz cuadrada regular por una matriz 2x3 con filas no l.i, se obtiene un plano distinto al plano generado por los vectores de la matriz 2x3? En cuyo caso se tendría, geometricamente hablando, que la matriz cuadrada 2x2 representa un plano en R2 y las matrices 2x3 representan 2 planos , eventualmente distintos, en R3? Si alguien puede orientar un poco esta cuestion, sería muy bueno. Saludos