[AlexSV]

Buenas a todos, llevo varias horas atascado en un ejercicio y por más vueltas que le doy no consigo ver donde estoy cometiendo un error. No estoy muy seguro de si es un error matemático o me he equivocado en los conceptos que he utilizado.
Pero sin más preámbulos, el ejercicio me pide que estudie la acción de un movimiento unidimensional de una partícula de masa unidad en un campo de fuerzas constante y que pruebe que alcanza un mínimo para la trayectoria real de la partícula.
Para ello, usando el Lagrangiano del sistema he llegado a que \( x(t)=\frac{1}{2} gt^2+ut \) es la trayectoria real de la partícula.
Después de eso, he considerado diferentes trayectorias: \( x(\alpha,t) = x(t) + \alpha(t) \) donde \( \alpha(t) \) esuna función arbitraria de \( t \) salvo por las condiciones \( \alpha(0)=\alpha(T)=0 \), donde \( T \) es el tiempo final del movimiento. De esta forma \( x(\alpha,t) \)muestra una familia de trayectorias que comienzan y acaban en los mismos puntos que la trayectoria real \( x(t) \).
Ahora, el problema me pide estudiar la acción y probar que la trayectoria real hace de la accion un extremal (en este caso un mínimo). Para ello, calculé la variación de \( S: \delta S= S(\alpha) - S(0) \).
Para hacerlo calculé el Lagrangiano de \( x(\alpha,t) \) y \( x(0,t) \) y los introduje en la función para la acción \( S=\int{L(t,x,\dot x)dt} \) para calcular  \( S(\alpha) \) y \( S(0) \) Obteniendo:
$$ \displaystyle\int_{0}^{T}{[\frac{1}{2}(gt+u+\dot \alpha(t))^2 -g(\frac{1}{2}gt^2+ut+\alpha(t))]dt} - \displaystyle\int_{0}^{T}{[\frac{1}{2}(g^2t^2+u^2+2ugt)-(\frac{1}{2}g^2t^2+ugt)]dt} $$
Donde \( \dot\alpha(t) \) se usa para denotar la derivada temporal total de \( \alpha(t) \), es decir \( \dot\alpha(t)=\frac{d\alpha(t)}{dt} \).
Tras expandir, combinar y simplificar las integrales llegué a:
$$ \displaystyle\int_{0}^{T}{(\frac{1}{2}\dot\alpha^2(t)+gt\dot\alpha(t)+u\dot\alpha(t)-g\dot\alpha(t))dt} $$
Lo cual me deja 3 integrales, la primera:
\( \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{T}{\dot\alpha^2(t)dt} \) , la cual es siempre positiva, lo cual haría que tuviese un mínimo en \( \alpha=0 \) y de esa forma probaría que la trayectoria real (\( \alpha = 0 \)) haría de la acción \( S \) un extremal (mínimo).
La segunda integral:
\( u\displaystyle\int_{0}^{T}{\dot\alpha(t)dt}=u[\alpha(T)-\alpha(0)]=0 \) , la cual daría 0 gracias a las condiciones de contorno de \( \alpha(t) \) y por ello no contribuiría.
Y la tercera integral y el motivo de mis problemas:
\( g\displaystyle\int_{0}^{T}{(t\dot\alpha(t)-\alpha(t))dt} \) , la cual no se anula y a la vez no puedo sacar ninguna condición que apoye la teoría que sé que es cierta.
El ejercicio también me menciona que el objetivo es llegar a \( \delta S=S(\alpha)-S(0)=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{T}{\dot\alpha^2(t)} \) y hacer el argumento que mencioné previamente. Por ello, es obvio que si bien mi resultado no es correcto, no puede estar del todo desencaminado. Pero a pesar de ello no consigo ver de donde me ha salido el término extra de la tercera integral que sé que no debería estar ahí.
He rehecho las cuentas en multiples ocasiones y siempre llego a la misma conclusión, lo cual me hace creer que el fallo tiene que estar en algún lugar previo (salvo que haya algo que no haya visto).
Cualquier sugerencia sobre donde he podido cometer algún error será bienvenida.
Gracias de antemano!

[geómetracat]

Hay un problema de signos en la trayectoria real. Si el Lagrangiano es \( L = \frac{1}{2} \dot{x}(t)^2 - gx(t)  \), la ecuación de Euler-Lagrange es:
\( \ddot{x}(t) +g = 0 \)
Luego la trayectoria es:
\( x(t)=x_0 +ut - \frac{1}{2}gt^2 \).
Tú has tomado el origen de coordenadas de forma que \( x_0=0 \), así que la trayectoria te queda:
\( x(t)=ut-\frac{1}{2}gt^2 \).

Esto tiene mucho sentido físico, porque al fin y al cabo el problema es análogo al de una partícula moviéndose en un campo gravitatorio constante. Si tomas la energía potencial como \( mgx \) (aquí \( m=1 \)), la fuerza gravitatoria va hacia abajo (hacia \( x \) negativas) y por tanto la aceleración de la partícula debe ser negativa, ya que la partícula tiende a ir a zonas de energía gravitatoria menor.

Si ahora repites los cálculos, te quedará algo parecido a lo que has encontrado, pero la tercera integral queda:
\( \displaystyle -g\int_0^T (t\dot{\alpha}(t) + \alpha(t)) dt \). Integrando el primer término por partes y usando las condiciones de contorno se ve que esa integral se anula y ya lo tienes.

[AlexSV]

Tenías razón, tenía un problema de signos. Aunque en mi caso utilizamos el convenio de considerar que en un campo gravitatorio el eje de las \( X \) vaya hacía abajo y por ello haga que la aceleración sea positiva. Pero como aun no estoy muy acostumbrado a utilizar este convenio confundí los signos al introducir el Lagrangiano en las integrales de la acción.
Tras solventar el problema de signos y ser consistente en el convenio que utilicé y realizar la integral por partes de \( g\displaystyle\int_{0}^{T}{t\dot\alpha(t)dt} \) tal y como sugeriste conseguí que se me anulase la tercera integral y llegar al resultado esperado de \( \delta S=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{T}{\dot\alpha^2(t)dt} \) tal y como debia.
Muchas gracias!

[alexpglez]

Hola!
No es una regla general, pero como sugerencia mía yo escribiría la solución después de simplificar la integral, suele quedar más limpio, pues si \(  y(t)=x(t)+\alpha(t)  \):
$$L(y,\dot y)=\frac{1}{2}\dot y^2-gy=\frac{1}{2}(\dot x+ \dot \alpha)^2-g(x+\alpha)=L(x,\dot x)+\frac{1}{2}\dot \alpha^2-g\alpha+\dot x\dot \alpha$$
Y así:
$$S(\alpha)-S(0)=\int_{0}^T(\frac{1}{2}\dot \alpha(t)^2-g\alpha(t)+\dot x(t)\dot \alpha(t)) dt$$
Y ahora es sustituir el valor de \(  \dot x(t)  \) en la integral.

Saludos