Hola,
En mi opinión, faltan datos. De hecho, para encontrar la diagonal y el apotema en un polígono regular de \( n \) lados con longitud de lado \( l \), sin usar trigonometría, es necesario conocer al menos una de ellas (diagonal o apotema) en un polígono con las mismas características; eventualmente, todo se reduce a usar triangulación desde el centro a un lado del polígono, y se acaba con un triángulo rectángulo del que se conocen los tres ángulos y un lado. A menos que se utilice el teorema de Tales de semejanza de triángulos, es imposible calcular cuánto valen los otros dos lados: pero si usas semejanza de triángulos, estás usando trigonometría, pues la igualdad de cocientes de longitudes de los lados no es sino la igualación de razones trigonométricas, reordenando convenientemente los términos de la ecuación.