[invasor]

Se me ha presentado este sistema de ecuaciones y no comprendo viendo como podría abordarlo o qué método emplear. Me tiene muy confundido lo que se encuentra al lado izquierdo de las igualdades.

\( \begin{cases}(x+y)(x+z) = 56\\
(x+y)(y+z) = 63\\
(x+z)(y+z) = 72\\
\end{cases} \)

Si me podrían ayudar lo agradecería mucho.

[Abdulai]

\( \left\{\begin{array}{c}(1)\quad(x+y)(x+z) = 56\\
(2)\quad(x+y)(y+z) = 63\\
(3)\quad(x+z)(y+z) = 72\\
\end{array}\right. \)


Edito:  Tengo un error

[geómetracat]

Puedes reducirlo a un sistema lineal.
Primero, fíjate que ninguno de los factores que hay entre paréntesis (\( x+y,x+z,y+z \)) pueden ser cero, pues los lados derechos de las ecuaciones son todos distintos de cero.
Ahora, si divides la primera ecuación entre la segunda, tienes:
\( \frac{x+z}{y+z} = \frac{56}{63} \)
O lo que es lo mismo:
\( 63(x+z) = 56(y+z) \)
Que ya es lineal, y reorganizando:
\( 63x -56y + 7z = 0 \)

Ahora puedes hacer lo mismo dividiendo la primera ecuación por la tercera y la segunda por la tercera. Así obtendrás un sistema lineal (homogéneo) de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Una vez hayas solucionado el sistema lineal, deberás introducir las soluciones en las ecuaciones originalea y ver cuáles son solución de tu sistema original. Esto es importante porque no toda solución del sistema lineal será solución de tu sistema (por ejemplo, en el sistema lineal tendrás la solución \( x=y=z=0 \), pero esta no puede ser solución de tu sistema).

[invasor]

Gracias, me ayudo a solucionar el problema.

Puedes reducirlo a un sistema lineal.
Primero, fíjate que ninguno de los factores que hay entre paréntesis (\( x+y,x+z,y+z \)) pueden ser cero, pues los lados derechos de las ecuaciones son todos distintos de cero.
Ahora, si divides la primera ecuación entre la segunda, tienes:
\( \frac{x+z}{y+z} = \frac{56}{63} \)
O lo que es lo mismo:
\( 63(x+z) = 56(y+z) \)
Que ya es lineal, y reorganizando:
\( 63x -56y + 7z = 0 \)

Ahora puedes hacer lo mismo dividiendo la primera ecuación por la tercera y la segunda por la tercera. Así obtendrás un sistema lineal (homogéneo) de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Una vez hayas solucionado el sistema lineal, deberás introducir las soluciones en las ecuaciones originalea y ver cuáles son solución de tu sistema original. Esto es importante porque no toda solución del sistema lineal será solución de tu sistema (por ejemplo, en el sistema lineal tendrás la solución \( x=y=z=0 \), pero esta no puede ser solución de tu sistema).

[Abdulai]

Una manera no standard de simplificarlo es aprovechar que:

\( \begin{cases}(x+y)(x+z) = 56 = 7\cdot 8\\
(x+y)(y+z) = 63 = 7\cdot 9\\
(x+z)(y+z) = 72 = 8\cdot 9\\
\end{cases} \)

Por lo que lo podemos descomponer en dos sistemas:

\( \begin{cases}x+y = 7 \\
y+z = 9 \\
x+z = 8 \\
\end{cases} \)

\( \begin{cases}x+y = -7 \\
y+z = -9 \\
x+z = -8 \\
\end{cases} \)

[geómetracat]

Una manera no standard de simplificarlo es aprovechar que:

\( \begin{cases}(x+y)(x+z) = 56 = 7\cdot 8\\
(x+y)(y+z) = 63 = 7\cdot 9\\
(x+z)(y+z) = 72 = 8\cdot 9\\
\end{cases} \)

Por lo que lo podemos descomponer en dos sistemas:

\( \begin{cases}x+y = 7 \\
y+z = 9 \\
x+z = 8 \\
\end{cases} \)

\( \begin{cases}x+y = -7 \\
y+z = -9 \\
x+z = -8 \\
\end{cases} \)

Pero si procedes así, ¿cómo aseguras que no te estás dejando soluciones? En este caso efectivamente obtienes las mismas soluciones, pero no acabo de ver claro en general cómo justificas el separar en dos sistemas de ese modo.

[Abdulai]

....
Pero si procedes así, ¿cómo aseguras que no te estás dejando soluciones? ...

A ver como lo justifico... 

El sistema es de la forma:
\( \begin{cases}pq = u \\
pr = v \\
qr = w \\
\end{cases} \)

Si tengo una solución \( p_0,q_0,r_0 \)  ¿Que otras puede haber?

Si otra solución de \( p \) fuera \( p_0\;t \)  , entonces debería ser: 

\( (p_0\;t)\; q =u \;\;\longrightarrow\;\;q=\dfrac{q_0}{t} \)
\( (p_0\;t)\; r =v \;\;\longrightarrow\;\;r=\dfrac{r_0}{t} \)

y en la última   \( \dfrac{q_0}{t} \; \dfrac{r_0}{t} =w  \;\;\longrightarrow\;\; t^2=1\;\;\longrightarrow\;\;t=\pm{1} \)

[feriva]

Se me ha presentado este sistema de ecuaciones y no comprendo viendo como podría abordarlo o qué método emplear. Me tiene muy confundido lo que se encuentra al lado izquierdo de las igualdades.

\( \begin{cases}(x+y)(x+z) = 56\\
(x+y)(y+z) = 63\\
(x+z)(y+z) = 72\\
\end{cases} \)

Si me podrían ayudar lo agradecería mucho.

Hola.

Perdón, que no es así, que están multiplicando; esto no vale

Spoiler

Puedes hace esto

\( \begin{cases}
{\color{blue}(x+y)}{\color{magenta}(x+z)}=56\\
{\color{blue}(x+y)}{\color{green}(y+z)}=63\\
{\color{magenta}(x+z)}{\color{green}(y+z)}=72
\end{cases}
  \)

Con cambio de variables a=(x+y); b=(y+z): c=(x+z)

\( a+c=56
  \)

\( a+b=63
  \)

\( c+b=72
  \)

Y si resuelves da (si no me he equivocado en algo)

\( {\color{blue}a=\dfrac{47}{2}};{\color{green}b=\dfrac{79}{2}};{\color{magenta}c=\dfrac{65}{2}}
  \)

De donde te sale un segundo sistema

\( {\color{blue}x+y}=\dfrac{47}{2}
  \)

\( {\color{green}y+z}=\dfrac{79}{2}
  \)

\( {\color{magenta}x+z}=\dfrac{65}{2}
  \)

y ya es normal (mira a a ver si no he bailado algún número o algo).

[cerrar]

Saludos.

[geómetracat]

....
Pero si procedes así, ¿cómo aseguras que no te estás dejando soluciones? ...

A ver como lo justifico... 

El sistema es de la forma:
\( \begin{cases}pq = u \\
pr = v \\
qr = w \\
\end{cases} \)

Si tengo una solución \( p_0,q_0,r_0 \)  ¿Que otras puede haber?

Si otra solución de \( p \) fuera \( p_0\;t \)  , entonces debería ser: 

\( (p_0\;t)\; q =u \;\;\longrightarrow\;\;q=\dfrac{q_0}{t} \)
\( (p_0\;t)\; r =v \;\;\longrightarrow\;\;r=\dfrac{r_0}{t} \)

y en la última   \( \dfrac{q_0}{t} \; \dfrac{r_0}{t} =w  \;\;\longrightarrow\;\; t^2=1\;\;\longrightarrow\;\;t=\pm{1} \)

Perfecto, ahora sí que me convence.