Autor Tema: Continuidad en subespacios

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24 Marzo, 2020, 05:15 am
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lcdeoro

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Sea \( f:[0,1]\cup{}(2,3]\longrightarrow{}[0,2] \) definida como:

\( f(x)=\begin{cases} x & \text{si}& x\in{[0,1]}\\\displaystyle\ x-1 & \text{si}& x\in{(2,3]}\end{cases} \) es continua?

Veo 3 posibles casos: 1. sí \( 0\leq{a}\leq{b}\leq{2} \) entonces \( f^{-1}[a,b]=[a,b] \)

2. Sí \( 0\leq{a}\leq{1}\leq{b}\leq{2} \) entonces \( f^{-1}[a,b]=[a,1]\cup{}(2,b+1] \)

3. Sí \( 1<a\leq{b}\leq{2} \) entonces \( f^{-1}[a,b]=[a+1,b+1] \)

Y todos son abiertos en el subespacio de \( [0,1]\cup{}(2,3] \) por tanto f es continua.

Algo que agregar o corregir?

24 Marzo, 2020, 07:39 am
Respuesta #1

Masacroso

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Sea \( f:[0,1]\cup{}(2,3]\longrightarrow{}[0,2] \) definida como:

\( f(x)=\begin{cases} x & \text{si}& x\in{[0,1]}\\\displaystyle\ x-1 & \text{si}& x\in{(2,3]}\end{cases} \) es continua?

Veo 3 posibles casos: 1. sí \( 0\leq{a}\leq{b}\leq{2} \) entonces \( f^{-1}[a,b]=[a,b] \)

2. Sí \( 0\leq{a}\leq{1}\leq{b}\leq{2} \) entonces \( f^{-1}[a,b]=[a,1]\cup{}(2,b+1] \)

3. Sí \( 1<a\leq{b}\leq{2} \) entonces \( f^{-1}[a,b]=[a+1,b+1] \)

Y todos son abiertos en el subespacio de \( [0,1]\cup{}(2,3] \) por tanto f es continua.

Algo que agregar o corregir?

Que \( [a,b] \) es cerrado en \( [0,2] \) cuando \( a,b\in [0,2] \), entonces deberías intentar mostrar que su preimagen es cerrada, no abierta. Igualmente eso no te asegura que todo cerrado tenga preimagen cerrada.

Lo que deberías hacer es utilizar una base topológica de \( [0,2] \) y demostrar que la preimagen de todo básico es abierto. Una base topológica la constituyen los abiertos del tipo \( (a,b)\cap [0,2] \) para cualesquiera \( a,b\in \mathbb{R}  \).

24 Marzo, 2020, 11:41 am
Respuesta #2

Masacroso

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Creamos la base: \( \beta:\left\{{A=(a,b)\cap{[0,2]}, \forall{a,b\in{\mathbb{R}}}}\right\} \)

Sí \( a<0<2<b\Longrightarrow{}A=[0,2] \) luego, \( f^{-1}(A)=[0,1]\cup{}(2,3] \) es abierto.

Sí \( a<b<0 \ ó \ 2<a<b\Longrightarrow{A=\emptyset} \) luego, \( f^{-1}(A)=\emptyset \) es abierto.

Sí \( a<0<b<1\Longrightarrow{}A=[0,b) \) luego, \( f^{-1}(A)=[0,b) \) es abierto.

Sí \( a<0<1<b<2\Longrightarrow{}A=[0,b) \) luego, \( f^{-1}(A)=[0,1]\cup{}(2,b+1) \) es abierto.

Sí \( 0<a<b<1\Longrightarrow{A=(a,b)} \) Luego, \( f^{-1}(A)=(a,b) \) es abierto

Sí \( 0<a<1<b<2\Longrightarrow{A=(a,b)} \) Luego, \( f^{-1}(A)=(a,1]\cup{}(2,b+1) \) es abierto

Sí \( 1<a<b<2\Longrightarrow{A=(a,b)} \) Luego, \( f^{-1}(A)=(a+1,b+1) \) es abierto

Sí \( 0<a<1<2<b\Longrightarrow{A=(a,2]} \) Luego,\( f^{-1}(A)=(a,1]\cup{(2,3]} \) es abierto.

Sí \( 1<a<2<b\Longrightarrow{A=(a,2]} \) Luego, \( f^{-1}(A)=(a+1,3] \) es abierto.

??? y ahora?



Ahora ya está, ya has demostrado que \( f \) es continua.

AÑADO: hay muchas otras maneras de demostrar la continuidad de \( f \), yo he seguido la idea que parecías tener al inicio de usar la definición topológica de continuidad. Otras formas de demostración pueden ser las siguientes: sean \( X \) e \( Y \) espacios topológicos y \( f:X\to Y \) entonces

1. \( f \) es continua si y solo si cada punto de \( X \) tiene un entorno en el cual la restricción de \( f \) a ese entorno es continua.

2. Si \( X \) es primero-contable (es decir, que cada punto tiene una base de entornos contable, como cualquier subconjunto de \( \mathbb{R}  \) con la topología inducida estándar) entonces \( f \) es continua si y solo si \( \lim_{n\to \infty }f(x_n)=f(\lim_{n\to \infty }x_n) \) para toda sucesión convergente \( (x_n) \) en \( X \).