[srdeincognito]

Buenas tardes a todos:

Quería pedirles ayuda acerca de un límite que se me ha propuesto resolver pero no sé empezar...

\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left ( \dfrac{x+a}{x-a}\right )^x \)

Aplicando el valor de x=infinito el valor de la función anterior sería (infinito/infinito)^infinito y no había visto nunca antes esa indeterminación. ¿Podrían echarme un cable? Muchas gracias.

[Ricardo Boza]

Hola,

Buenas tardes a todos:

Quería pedirles ayuda acerca de un límite que se me ha propuesto resolver pero no sé empezar...

Se trata del límx--> infinito {[(x+a)/(x-a)]^x}

Aplicando el valor de x=infinito el valor de la función anterior sería (infinito/infinito)^infinito y no había visto nunca antes esa indeterminación. ¿Podrían echarme un cable? Muchas gracias.

\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left ( \dfrac{x+a}{x-a}\right )^x=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\left (1+\frac{a}{x}\right )^x}{\left (1+\frac{-a}{x}\right )^x}=\dfrac{e^a}{e^{-a}}=e^{2a} \)

Saludos

[srdeincognito]

Por favor, podría desarrollar esos dos primeros pasos?, no lo entiendo...

[Ricardo Boza]

Por favor, podría desarrollar esos dos primeros pasos?, no lo entiendo...

Divides arriba y abajo por \( x \).

Luego, por otra parte, tienes:

\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left (1+\frac{a}{x}\right)^x=\exp\left(\ln\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left (1+\frac{a}{x}\right)^x\right)\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln \left (\left (1+\frac{a}{x}\right)^x\right)\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x\ln \left (\left (1+\frac{a}{x}\right)\right)\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln \left (\left (1+\frac{a}{x}\right)\right)}{\dfrac{1}{x}}\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{a}{1+\dfrac{a}{x}}\right)=\exp(a) \)

[Ricardo Boza]

srdeincognito, si tienes dudas acerca de la línea esa, no tengo inconveniente en explicártela con el detalle que necesites.

Dime si lo entiendes o no.

[sugata]

Por favor, podría desarrollar esos dos primeros pasos?, no lo entiendo...

Divides arriba y abajo por \( x \).

Luego, por otra parte, tienes:

\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left (1+\frac{a}{x}\right)^x=\exp\left(\ln\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left (1+\frac{a}{x}\right)^x\right)\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln \left (\left (1+\frac{a}{x}\right)^x\right)\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x\ln \left (\left (1+\frac{a}{x}\right)\right)\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln \left (\left (1+\frac{a}{x}\right)\right)}{\dfrac{1}{x}}\right)=\exp\left(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{a}{1+\dfrac{a}{x}}\right)=\exp(a) \)

Casi nunca he usado ese método, siempre he usado \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left( 1+\dfrac{1}{f(x)}\right) ^{f(x)} =e \)

Creo que es este caso es más fácil este metodo

[srdeincognito]

Muchas gracias por vuestra ayuda. Lo entendí perfectamente.

Un abrazo.