Justifica la existencia de la integral y calcule su valor:
\( f(x,y,z)=yz\sqrt{x^2+y^2} \) sobre el conjunto \( E=\{0\leq z \leq x^2+y^2, 0\leq y \leq \sqrt{2x-x^2}\} \)
Solución
El conjunto \( E \) son los puntos del plano XY tales que \( (x-1)^2-y^2<=1 \) tal que \( y>0 \), y \( z\in[0,4] \). \( E \) es medible Jordan pues su frontera se puede ver, a trozos, como la gráfica de funciones continuas. Por otro lado, \( f \) está acotada y no presenta puntos de discontinudidad sobre \( E \) y por lo tanto es integrable.
Para calcular dicha integral consideramos el cambio a coordenadas cilíndricas dado por \( x = pcos\theta \), \( y = psen\theta \) y \( z\in[0,4] \) tal que \( p\in[0,1] \) y \( \theta\in [0,\pi] \). Haciendo estos cálculos saldría que la integral vale 4.
