Hola.
Estoy interesado en conocer soluciones periódicas de una ecuación diferencial. En este sentido, el siguiente resultado es conocido:
Sea \( f=f(x,t):\mathbb{R^n}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) una función de clase \( C^1 \) que es periódica en la variable \( t \) y tal que existe \( M>0 \) para el que se verifica que \( x\cdot f(x,t)<0 \) (\( \forall |x|>M ;t\in \mathbb{R} \)). Entonces existe un punto \( z \) tal que la solución del PVI \( x'(t)=f(x,x(t));\;x(0)=z \) es periódica.
La pregunta que me surge al leer este resultado es si la misma afirmación sigue siendo cierta si ahora suponemos que \( x\cdot f(x,t)>0 \) (\( \forall |x|>M ;t\in \mathbb{R} \)). No he podido encontrar nignún contraejemplo para concluir que el resultado no es cierto, pero tampoco una demostración que indique lo contrario, así que agradecería cualquier tipo de ayuda.
Saludos.
