[Benchu]

Hola!
 Tengo que probar que para dos matrices cuadradas \( A \) y \( B \), si \( AB=A \), \( BA=B \),  probar que \( A \) y \( B \) son idempotentes.


Además, si \( A \) es idempotente entonces se cumple \( A^n=A \) siendo \( n\in{}N \).

Gracias.

[manooooh]

Hola, bienvenido al foro!!

Debes de mostrar lo que has intentado así podemos ayudarte mejor.

Una matriz es idempotente si y sólo si su cuadrado es igual a la matriz original.

Si \( BA=B \) entonces premultiplicando por \( A \) se tiene \( ABA=AB \), y como \( AB=A \) luego \( A^2=A \).

Similarmente para \( B \). Y ahí tenés el resultado.

Saludos

[Quema]

Solamente la pre-multiplicación de matrices mantiene la igualdad, o la post-multiplicación también?

[manooooh]

Hola

¿Solamente la pre-multiplicación de matrices mantiene la igualdad, o la post-multiplicación también?

Me sorprende que lo preguntes. Se mantiene la igualdad. Es como tener \( 2=2 \) y hacer \( 3\cdot2=3\cdot2 \). Es lo mismo que hacer \( 2\cdot3=2\cdot3 \).

Lo que yo NO puedo hacer es intercambiar de lugar las matrices porque en general las matrices NO conmutan. Pero si multiplico algo en los dos miembros de una igualdad el resultado no cambia. No importa si es a izquierda o a derecha; pero hay que ser consistentes con a qué lado multiplicamos. Porque para llegar a \( 6=6 \) yo no hice \( 2\cdot3=3\cdot2 \) sino de \( 2=2 \) mantuve la consistencia y multipliqué a izquierda o a derecha ambos números.

Saludos

[Quema]

Ok, tenía dudas con matrices.