Autor Tema: Demostrar que la clausura es cerrada, por puntos límites

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14 Marzo, 2020, 05:17 am
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lcdeoro

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Demostrar que \( \overline{A} \) es cerrado. La cuestión es que me piden probarlo utilizando la siguiente definición:

Un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos límites.

Por lo cual, yo lo veo de la siguiente manera: Probar que \( (\overline{A})^{\prime}\subseteq{\overline{A}} \)

Y empiezo así: Sea \( x\in{(\overline{A})^{\prime}} \) entonces para todo \( B \) abierto que contiene a \( x \) se tiene que \( B\cap{\overline{A}-\left\{{x}\right\}}\neq{\emptyset} \)

Luego, \( B\cap{(A\cup{A^{\prime}}-\left\{{x}\right\}})\neq{\emptyset} \).

\( \Longrightarrow{}(B\cap{A-\left\{{x}\right\}})\cup{}(B\cap{A^{\prime}-\left\{{x}\right\}})\neq{\emptyset} \)

Y así tendría que \( x\in{A^{\prime}}\vee x\in{(A^{\prime})^{\prime}} \)

pero no he logrado avanzar más porque no estoy seguro si esto es cierto \( (A^{\prime})^{\prime}=A^{\prime} \).

Si es cierto, me podrían ayudar a demostrarlo y si no lo es, cuál sería otro camino para resolverlo.