Autor Tema: Ejercicio de espacios de Hausdorff

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10 Marzo, 2020, 04:24 am
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lcdeoro

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Sea \( (X, \tau) \) un espacio de Hausdorff donde \( X \) es infinito. probar que \( (X, \tau) \) es \( T_2 \) si y solo si para cada \( x\in{X} \) se tiene que:

\( \overline{\left\{{x}\right\}}= \displaystyle\bigcap_{N\in{N_x}}^{}\overline{{N}} \)

Dmst:
 sea \( y\neq{x} \) existen abiertos \( U_x \) y \( V_y \) tales que \( U_x\cap{V_y}=\emptyset \). luego, \( x\in{{V_y}^c} \). sin perder la generalidad tenemos que:

\( V=\displaystyle\bigcup_{y\neq{x}}^{}{V_y } \) es un abierto tal que \( x\not\in{V} \) pero \( y\in{V} \) para cada \( y\neq{x} \).

\( \Longleftrightarrow{} \) \( \left\{{x}\right\}=X-V=V^c \), por ende \( \left\{{x}\right\} \) es un cerrado, es decir que, \( \left\{{x}\right\}=\overline{\left\{{x}\right\}} \). Además, \( V^c=(\displaystyle\bigcup_{y\neq{x}}^{}{V_y })^c=\displaystyle\bigcap_{y\neq{x}}^{}{{V_y}^c }=\displaystyle\bigcap_{y\neq{x}}^{}{\overline{{V_y}^c} } \). Solo bastaría tomar \( N={V_y }^c \) y combinando igualdades tenemos:

\( \overline{\left\{{x}\right\}}=\displaystyle\bigcap_{N\in{N_x}}^{}{\overline{N} } \)

Así esta bien? no sé si el si y solo si se pueda hacer así directamente.


10 Marzo, 2020, 12:10 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( (X, \tau) \) un espacio de Hausdorff donde \( X \) es infinito. probar que \( (X, \tau) \) es \( T_2 \) si y solo si para cada \( x\in{X} \) se tiene que:

\( \overline{\left\{{x}\right\}}= \displaystyle\bigcap_{N\in{N_x}}^{}\overline{{N}} \)

Según las definiciones que yo conozco \( T_2 \) y Hausdorff es lo mismo.

Citar
Dmst:
 sea \( y\neq{x} \) existen abiertos \( U_x \) y \( V_y \) tales que \( U_x\cap{V_y}=\emptyset \). luego, \( x\in{{V_y}^c} \). sin perder la generalidad tenemos que:

Deberías de llamar al abierto \( U_y \) en lugar de \( U_x \) porque \( x \) lo vas a manter fijo y vas a variar \( y \). El abierto \( U_y \) que contiene a \( x \) varía con el punto \( y \).

Citar
\( V=\displaystyle\bigcup_{y\neq{x}}^{}{V_y } \) es un abierto tal que \( x\not\in{V} \) pero \( y\in{V} \) para cada \( y\neq{x} \).

\( \Longleftrightarrow{} \) \( \left\{{x}\right\}=X-V=V^c \), por ende \( \left\{{x}\right\} \) es un cerrado, es decir que, \( \left\{{x}\right\}=\overline{\left\{{x}\right\}} \). Además, \( V^c=(\displaystyle\bigcup_{y\neq{x}}^{}{V_y })^c=\displaystyle\bigcap_{y\neq{x}}^{}{{V_y}^c }=\displaystyle\bigcap_{y\neq{x}}^{}{\overline{{V_y}^c} } \). Solo bastaría tomar \( N={V_y }^c \) y combinando igualdades tenemos:

\( \overline{\left\{{x}\right\}}=\displaystyle\bigcap_{N\in{N_x}}^{}{\overline{N} } \)

Así esta bien? no sé si el si y solo si se pueda hacer así directamente.

Ahí estás probando que si es Hausdorff se da la igualdad indicada, luego te falta el recíproco.

Además tienes que justificar que \( V_y^c \) es un entorno de \( x \). Lo es porque existe una abierto \( x\in U_y\subset V_y^c \).

mmm.. ahora que lo pienso el recíproco no es cierto.

Hay algo raro en ese enunciado. ¿No será así?.

\( \{x\}= \displaystyle\bigcap_{N\in{N_x}}^{}\overline{{N}} \).

Saludos.

10 Marzo, 2020, 01:07 pm
Respuesta #2

lcdeoro

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Eso estaba viendo en ese recíproco, cómo podría ser un contraejemplo?

10 Marzo, 2020, 02:10 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Eso estaba viendo en ese recíproco, cómo podría ser un contraejemplo?

Pues \( X \) un conjunto con más de un elemento y la topología trivial \( \tau=\{\emptyset,X\} \).

La clausura de cualquier conjunto no vacío es \( X \). Por tanto la igualdad indicada es trivialmente cierta, pero el espacio no es Hausdorf.

Saludos.