Hola
Buenas, tengo dudas sobre la demostración de una propiedad topológica, a ver si alguien me podría echar una mano:
Toda aplicación sobreyectiva, continua y abierta (o cerrada) entre espacios topológicos es una aplicación cociente.
Por definición una aplicación sobreyectiva \( f:X\to Y \) es una aplicación cociente si:
\( U \) es abierto en \( Y \) si y sólo \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \)
Ahora dada una aplicación sobreyectiva y continua \( f:X\to Y \) si \( U \) es abierto en \( Y \) por continuidad \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \). Si además:
- es abierta, entonces si \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \), por ser sobreyectiva \( f(f(^{-1}(U))=U \) y por ser abierta \( U \) es abierto en \( Y. \)
- o si es cerrada, entonces si \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \) y su complementario \( X-f^{-1}(U) \) es cerrado en \( X \); por ser sobreyectiva \( f(X-f^{-1}(U))=Y-U \) y por ser cerrada \( Y-U \) es cerrado en \( Y \) e su complementario \( U \) es abierto.
Saludos.
