Autor Tema: Duda sobre topología cociente

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07 Marzo, 2020, 09:17 pm
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Gray

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Buenas, tengo dudas sobre la demostración de una propiedad topológica, a ver si alguien me podría echar una mano:

Toda aplicación sobreyectiva, continua y abierta  (o cerrada) entre espacios topológicos es una aplicación cociente.

¡Muchas gracias de antemano!

07 Marzo, 2020, 10:27 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas, tengo dudas sobre la demostración de una propiedad topológica, a ver si alguien me podría echar una mano:

Toda aplicación sobreyectiva, continua y abierta  (o cerrada) entre espacios topológicos es una aplicación cociente.

Por definición una aplicación sobreyectiva \( f:X\to Y \) es una aplicación cociente si:

\( U \) es abierto en \( Y \) si y sólo \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \)

Ahora dada una aplicación sobreyectiva y continua \( f:X\to Y \) si \( U \) es abierto en \( Y \) por continuidad \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \). Si además:

- es abierta, entonces si \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \), por ser sobreyectiva \( f(f(^{-1}(U))=U \) y por ser abierta \( U \) es abierto en \( Y. \)

- o si es cerrada, entonces si \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \) y su complementario \( X-f^{-1}(U) \) es cerrado en \( X \); por ser sobreyectiva \( f(X-f^{-1}(U))=Y-U \) y por ser cerrada \( Y-U \) es cerrado en \( Y \) e su complementario \( U \) es abierto.

Saludos.