[athairdos]

Hola, tengo la siguiente duda:

Una transformación afin puede transformar un plano cualquiera de R3 en otro plano cualquiera (en particular, la pregunta apunta a si la Transformacion afin puede aplicar un plano cualquiera de R3 en un plano imagen, digamos, que no es necesariamente paralelo al plano inicial)?

si se toma la ecuación de un plano en \( \mathbb{R}^3 \) como la ecuacion lineal homogenea asociada al vector normal al plano (es decir: aX+aY+cZ=0), diria que al aplicar una Transformacion Afin al mismo (a b c) (transformacion lineal seguida de una Traslacion) el resultado puede ser cualquier plano de R3...

Por otro lado, la siguiente pregunta asociado a lo anterior: dada una Transformacion afin (transformacion lineal seguida de Traslacion), existe una Transformacion lineal tal que aplique los elementos de R3 (vectores, rectas, planos) en los mismos transformados de dichos elementos por obra de una Transformacion afin dada? Me imagino que por medio del uso de la matriz inversa...se podria encontrar una Transformacion lineal con las propiedades mencionadas...

Bueno, gracias de antemano. saludos

[feriva]

No sé si entiendo bien las preguntas, ya pasará alguien que te conteste mejor. Pero, de todos modos, te cuento que una transformación afín, tal como yo la entiendo, básicamente “mueve” puntos en el espacio: puede ser una proyección, una simetría, un giro, un movimiento helicoidal (o sea, giro con traslación) una homotecia...

Si mueve un conjunto de puntos, conserva la “forma” de eso que mueve; lo coloca de otra manera en el espacio, pero, después de transformado, sigue siendo lo que era: si era un plano, sigue siendo un plano, si era una recta, una recta...

Una vez transformado lo que sea, se pueden volver a transformar, se pueden “llevar” de aquí para allá, se puede “voltear”, etc.

Saludos.

[athairdos]

Gracias! la pregunta (la primera de ambas) apunta a contrastar la intuición en la definición del plano afin z=1 en R3, con otras definiciones posibles de o para un plano afin en R3.

Si el plano afin dado por la ecuación z=1 se piensa como traslación del plano z=0 (transformación lineal Identidad seguida de traslacion: x`= xI+ (0 0 1), digamos) y, por ende, dando un paralelismo entre ambos, la pregunta apunta a facilitar la intuicion en la caracterizacion de un plano afin que no sea paralelo a ninguno de los planos dados por: z=1; y=1 o x=1; por ejemplo, se podria pensar en un plano afin resultante de la composicion de la transformacion afin que genera el plano afin z=1 con otra transformacion afin, de modo de generar un plano afin cuyo vector normal sea (1 1 1) u algun otro (en vez de ser (0 0 1)...)

esa era la motivacion de la pregunta (ignoro si en el razonamiento implicito hay algun error conceptual). saludos y gracias de nuevo!

[feriva]

gracias! la pregunta (la primera de ambas) apunta a contrastar la intuicion en la definicion del plano afin z=1 en R3, con otras definiciones posibles de o para un plano afin en R3.

Si el plano afin dado por la ecuacion z=1 se piensa como traslacion del plano z=0 (transformacion lineal Identidad seguida de traslacion: x`= xI+ (0 0 1), digamos) y, por ende, dando un paralelismo entre ambos, la pregunta apunta a facilitar la intuicion en la caracterizacion de un plano afin que no sea paralelo a ninguno de los planos dados por: z=1; y=1 o x=1; por ejemplo, se podria pensar en un plano afin resultante de la composicion de la transformacion afin que genera el plano afin z=1 con otra transformacion afin, de modo de generar un plano afin cuyo vector normal sea (1 1 1) u algun otro (en vez de ser (0 0 1)...)

esa era la motivacion de la pregunta (ignoro si en el razonamiento implicito hay algun error conceptual). saludos y gracias de nuevo!

Sí, hay transformaciones así. Hace mucho que yo no hago de estas cosas, pero hay matrices que, por ejemplo, hacen una traslación de los puntos y a la vez los giran. Las matrices afines de este tipo tienen las coordenadas del vector traslación (al que se solía llamar tau, me parece) debajo del primer 1 de la matriz, en columna, y la matriz más pequeña, “interior”, la matriz de dim n-1, define un giro.  De esa forma un plano con “z” constante ya no queda con “z” constante al transformarse.
Pero, ya te digo, mejor que entre otra persona que sepa más.

Saludos.

[athairdos]

gracias! si...a algo de eso apuntaba la pregunta...hay un isomorfismo entre las transformaciones afines y las matrices orladas (de dimension n + 1, digamos) de la forma \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & 0 \\ a_{21} &a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ k_{1} & k_{2} &\ldots & 1\end{bmatrix} donde el vector fila \begin{bmatrix}k_1 k_2 ... k_n\end{bmatrix} es el vector de traslacion... y la submatriz A de dim= n tiene el efecto de transformacion lineal que tu indicas...voy a ver si repaso un poco este concepto en el libro y puedo comentar algo mas...saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 En general en \( \Bbb R^n \) dadas dos referencias, es decir, un punto y una base de vectores:

\( R=\{P;\underbrace{\vec u_1,\vec u_2,\ldots,\vec u_n}_B\} \)
\( R'=\{Q;\underbrace{\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n}_B'\} \)

 Siempre se puede definir una transformación afín que lleve la una en la otra:

\( T(X)=Q+f(X-P) \)

 donde \( f \) es la aplicación lineal que lleva \( B \) en \( B' \) definida como \( f(\vec u_i)=\vec v_i \).

 En particular en \( \Bbb R^3 \) dados dos planos \( \pi \) y \( \pi' \) si consideramos una par de referencias \( R \) y \( R' \) formadas cada una de ellas por un punto del cada plano, sus vectores directores y su vector normal, la transformación afín que lleva \( R \) en \( R' \), transforma el plano \( \pi \) en el plano \( \pi' \).

 Si adicionalmente se toman bases ortonormales en cada caso (y siempre puede hacerse) se consigue una transformación isométrica que conserva ángulos y distancias.

Saludos.

[athairdos]

gracias por la respuesta! es excelente aunque apenas puedo asimilarla en profundidad (he estado y seguire repasando algunos conceptos en el interin).

me he dado cuenta ( o he creido darme cuenta) que el plano afin z=1 podria definirse del siguiente modo:

1-en primer lugar, tomar la base e1, e2, e3 de R3 y obtener las combinaciones a*e1+b*e2+c*e3 con e1+e2+e3=1; por esa via se obtiene el triangulo de vertices en e1, e2 y e3, que determina un plano en R3 normal al punto (1, 1, 1).

2-Luego, si en lugar de tomar como antes los vectores e1, e2, se tomaran los vectores e1+e3 y e2+e3 en su lugar, se podria obtener otro triangulo (y plano) combinando a*(e1+e3)+b*(e2+e3)+c*e3, con a+b+c=1 como antes; ahora, el triangulo obtenido seria de vertices (1,0,1), (0, 1, 1) y (0, 0, 1) y seria paralelo al plano XY, por un lado; y el plano asociado al triangulo seria de ecuacion z=1.

El reemplazo de e1 y e2 por e1+e3 y e2+e3, respectivamente, podria ser equivalente a trasladar los vectores e1 y e2: e1 a (e1+e3) y e2 a (e2+e3).

Todo esto es, segun comprendo, una replica de la definicion de una recta afin a partir de dos vectores en un plano, a partir de las combinaciones de los mismos con coeficientes cuya suma es 1; lo cual redunda en un subespacio (la recta) de dimension n-1, o sea en un plano, dim=1.

Me pregunto si lo anterior es viable o si es un sinsentido. Bueno, cualquier ayuda seria muy buena. Gracias

[athairdos]

Hola, dejando de lado mi respuesta anterior(una especie de disgresion ad.hoc) , estuve leyendo sobre coordenadas homogeneas en wikipedia y me esclarecio un poco algo del tema (ignoraba, entre tantas cosas, que se llama coordenadas homogeneas a las usadas en geometria proyectiva, creadas por Moebius: permiten representar puntos del infinito por medio de coordenadas finitas, etc.; ademas, me anoticie de que las coordenadas cartesianas son las que usan en geometria euclideana, etc.).

En relacion a la ultima respuesta, la pregunta que me surge es si la transformacion afin que lleva una referencia a la otra (R a R`) se representaria por medio de una matriz orlada tal como:

 \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & 0 \\ a_{21} &a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ k_{1} & k_{2} &\ldots & 1\end{bmatrix}


Si la respuesta fuera que sì, entonces podria aprovechar para la siguiente pregunta** (de sentido bastante obvio pero que, hecha la aclaracion del primer parrafo, se podria poner en contexto...):

Una base cualquiera en R3 asociada a un plano proyectivo (P2), en el que planos por el origen de R3 son rectas proyectivas de P2 y en el que rectas por el origen (clases de equivalencia de la forma λv, v:vector) de R3 son puntos de P2...se asocia, en coordenadas homogeneas al plano z=1 (es decir, la afinidad del plano z=1 es inmutable a los cambios de base en el Espacio Proyectivo P2 del cual aquel es subespacio)?

**(se que la definicion de base en un espacio proyectivo es incompleta tal como la he virtualmente tratado de expresar...pienso que estaria faltando un punto cuyas coordenadas emplacen las clases de equivalencia respectivas para los n puntos...pero en fin...tal vez la pregunta se pueda entender de todos modos...).

Saludos y gracias

[Luis Fuentes]

Hola

gracias por la respuesta! es excelente aunque apenas puedo asimilarla en profundidad (he estado y seguire repasando algunos conceptos en el interin).

Vaya por delante que no me queda muy claro que conocimientos tienes sobre la teoría de espacios afines, entonces no sé muy bien en que apoyarme para responderte.

me he dado cuenta ( o he creido darme cuenta) que el plano afin z=1 podria definirse del siguiente modo:

1-en primer lugar, tomar la base e1, e2, e3 de R3 y obtener las combinaciones a*e1+b*e2+c*e3 con e1+e2+e3=1; por esa via se obtiene el triangulo de vertices en e1, e2 y e3, que determina un plano en R3 normal al punto (1, 1, 1).

Eso no está bien escrito. La suma de tres vectores no puede ser  un número. No estoy seguro de que querías poner.

En relacion a la ultima respuesta, la pregunta que me surge es si la transformacion afin que lleva una referencia a la otra (R a R`) se representaria por medio de una matriz orlada tal como:

 \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & 0 \\ a_{21} &a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ k_{1} & k_{2} &\ldots & 1\end{bmatrix}


Si la respuesta fuera que sì, entonces podria aprovechar para la siguiente pregunta** (de sentido bastante obvio pero que, hecha la aclaracion del primer parrafo, se podria poner en contexto...):

Cualquier transformación afín lleva una referencia en otra; y si, puede representarse matricialmente de esa manera.

Una base cualquiera en R3 asociada a un plano proyectivo (P2), en el que planos por el origen de R3 son rectas proyectivas de P2 y en el que rectas por el origen (clases de equivalencia de la forma λv, v:vector) de R3 son puntos de P2...se asocia, en coordenadas homogeneas al plano z=1 (es decir, la afinidad del plano z=1 es inmutable a los cambios de base en el Espacio Proyectivo P2 del cual aquel es subespacio)?

¡Me cuesta entender la pregunta!. Lo que cumple es, que si fijamos un abierto afín del plano proyectivo en la cual el plano del infinito sea \( z=0 \) entonces una transformación afín corresponde a una proyectiva que deja invariante tal plano \( z=0 \).

Saludos.