Hola
Estudiando funciones inversas me encuentro bloqueado con este problema:
* Suponga que f(x) cumple \( f^{\prime} \)=\( 1/x \) y que f es uno a uno (tiene inversa). Si y = \( f^{-1}(x) \), demuestre que \( \frac{dy}{dx}=y \)
Pues bien, no soy capaz de demostrarlo. Aqui mi intento fallido:
\( f(x)^{\prime} \)=\( 1/x \) --> \( f(x) = \displaystyle\int_{}^{}(1/x)dx \) = \( Ln|x| + C \) con x > 0 (1). Tengo que acotar el dominio para que tenga inversa f(x), ya que si no acoto con x>0, x podría coger valores positivos y negativos, correcto?
Del anterior resultado: \( y = Ln|x| + C \) --> \( e^y = e^{Ln|x|} + e^C \) --> \( e^y = |x| + e^C \)
Intercambio variable \( e^x = |y| + e^C \) --> \( |y| = e^x - e^C \) (2)
Igualo (1) y (2) para intentar comprobar la demostración pero no.
\( |Ln|x|+ C| \neq{} |e^x - e^c| \)
El problema es que estás llamando \( y \) a dos cosas distintas. En (1) \( y=f(x) \) y en (2) \( y=f^{-1}(x). \)
Lo que obtienes al integrar es que:
\( f(x)=Log(x)+cte \) para \( x>0 \) (no hace falta entonces poner el valor absoluto)
Por tanto:
\( f(f^{-1}(x))=Log(f^{-1}(x))+cte\quad \Leftrightarrow{}\quad x=Log(f^{-1}(x))+cte \)
y despejando:
\( f^{-1}(x)=e^{x-cte} \)
Siguiendo la notación del enunciado:
\( y=f^{-1}(x)=e^{x-cte} \)
y
\( \dfrac{dy}{dx}=e^{x-ce}=y \)
Saludos.
P.D. En realidad directamente puede usarse el Teorema de la Función inversa según el cual:
\( y'=(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\dfrac{1}{1/f^{-1}(x)}=f^{-1}(x)=y \)
