Hola
La discusión de si epimorfismo de grupos incluye o no la sobreyectiviad es lo de menos. En todo caso uno podría mirar, históricamente, cual de las dos definiciones del término "epimorfismo" (de grupos) fue primera si la categórica o como homomorfismo sobreyectivo.
En cualquier caso se trata de probar que un homomorfismo de grupos \( f:G\longrightarrow{}H \) verificando que para cualquier par de homomorfismos \( g_1,g_2:H\longrightarrow{}H' \) con \( g_1\circ f=g_2\circ f \) entonces \( g_1=g_2 \).
En la categoría de conjuntos este hecho es trivial. Si uno tiene una aplicación \( f \) en las condiciones anteriores pero \( Im(f)\neq H \), basta definir un par de aplicaciones \( g_1 \) y \( g_2 \) desde \( H \) hasta un conjunto cualquiera que actúen de igual forma en \( Im(f) \), pero varien los elementos de \( H/Im(f) \) para obtener una contradicción.
El problema en grupos, es que es la construcción de esas \( g_1 \) y \( g_2 \) ha de ser más cuidadosa, porque necesitamos que se "porten bien" con la estructura de grupo.
El el caso de grupos abelianos se puede hacer una construcción muy trivial:
\( g_1,g_2:H\longrightarrow{}H/Im(f) \)
siendo \( H/Im(f) \) el grupo cociente, \( g_1 \) la proyección natural y \( g_2 \) la aplicación que lleva cualquier elemento en el neutro. Si \( H\neq Im(f) \), al componer con \( f \) coinciden pero son distintas.
Si no estamos con grupos abelianos el problema es que \( H/Im(f) \) no es en general un subgrupo, porque \( Im(f) \) no tiene porque ser subgrupo normal.
Se me ocurre la opción de tomar la clausura normal \( Im(f)^H\neq H \) de \( Im(f) \) y hacer el cociente por ella. Lo único de lo que hay que estar seguros es de que si \( Im(f)\neq H \), entonces \( Im(f)^H\neq H \). ¿Es cierto esto?. ¿Es trivial?.
Saludos.
