Lo que buscas se sigue del teorema de la Wikipedia vía un argumento estándar en geometría algebraica.
Si tienes polinomios (arbitrarios, no necesariamente homogéneos) \( f_1, \dots, f_n \) de grados \( d_1, \dots, d_n \) en las variables \( x_1, \dots, x_n \), los puedes homogeneizar vía el procedimiento habitual (definiendo \( F_i(X_0,\dots,X_n) = X_0^{deg(f_i)} f_i(X_1/X_0, X_2/X_0, \dots, X_n/X_0 \)), y obtienes polinomios homogéneos \( F_1, \dots, F_n \) en las \( n+1 \) variables \( X_0, \dots, X_n \). Ahora, el teorema de Bézout generalizado te dice en particular que si la intersección de las hipersuperfícies definidas por esos polinomios es finita en el espacio proyectivo (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado) de dimensión \( n \), entonces el número de puntos en la intersección está acotado por \( d_1\dots d_n \).
Pero los puntos de intersección de las hipersuperfícies definidas por \( f_1, \dots, f_n \) en el espacio afín son los mismos que los de las hipersuperfícies definidas por \( F_1, \dots, F_n \) si identificas el espacio afín con el subconjunto del espacio proyectivo definido por \( X_0 \neq 0 \) (solo que éstas últimas pueden tener puntos de intersección adicionales en el hiperplano del infinito \( X_0=0 \)). Por tanto, el número de puntos en la intersección de las hipersuperfícies definidas por \( f_1, \dots, f_n \) también está acotado por \( d_1 \dots d_n \), que es el resultado que buscas.
