[german.jablo]

Una pregunta similar a la que hice hoy (esto de las condiciones es un dolor de cabeza).
Prácticamente en todas las fuentes que consulto encuentro estás dos propiedades:

1. Si f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces rot(∇f) = \( \vec{0} \).
2. Si \( \vec{F}(x,y,z) \) es un campo vectorial conservativo, entonces rot(\( \vec{F} \))=\( \vec{0} \).

¿Por qué en la segunda propiedad nadie agrega la cláusula de que \( \vec{F}(x,y,z) \) tenga derivadas parciales continuas de primer orden, para que las dos condiciones sean equivalentes? ¿Acaso no es posible un campo vectorial conservativo con rotacional distinto al vector nulo? Eso es lo que entiendo yo que pasa si el campo no tiene derivadas y por lo tanto su rotacional no existe, ya sea en algunos puntos o en todo su dominio. Pero me surge la duda porque he consultado mucha bibliografía de cabecera y nadie lo pone 

[geómetracat]

Yo diría que necesitas que las segundas derivadas parciales cruzadas de \( f \) sean iguales, para lo que te basta pedir que \( f \) sea derivable dos veces con continuidad, o lo que es lo mismo, que \( F \) sea derivable con continuidad. Es decir, sí que falta una condición sobre las derivadas en el enunciado \( 2 \).

El motivo es que si tomas una función escalar \( f:\Bbb R^2 \to \Bbb R \) con derivadas segundas tal que
 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \neq    \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}   \)
entonces \( F = \nabla f \) es un campo conservativo, pero sin embargo su rotacional es distinto de \( 0 \).