[hfarias]

El ejercicios es el siguiente de racionalizar el denominador y simplificar si es posible.

\( \displaystyle\frac{\sqrt{3^2 + x^2} - \sqrt{3^2 - x^2}}{\sqrt{3^2+x^2 } + \sqrt{3^2-x^2}} \)=

\( \displaystyle \frac {\sqrt{3^2 + x^2} - \sqrt{3^2 - x^2}}{\sqrt{3^2+x^2 } + \sqrt{3^2-x^2}} \)\( \displaystyle\cdot \frac {\sqrt{3^2 + x^2} - \sqrt{3^2 - x^2}}{\sqrt{3^2+x^2 } - \sqrt{3^2-x^2}} \)=

\( \displaystyle \cfrac {(\sqrt{3^2 + x^2}- \sqrt{3^2  - x^2})^2}{(\sqrt{3^2 + x^2})^2 (\sqrt{3^2 - x^2})^2} \)

desarrollando el binomio al cuadrado en el númerador y eliminando las raíces en el denominador,quedaria

\( \displaystyle\frac {2 \sqrt{9-x}}{2x^2} \)=\( \displaystyle\frac{\cancel{2}\cdot 3 - x}{\cancel{2} x^2} \)

\( \displaystyle\frac{3-x}{x^2} \)

Gracias y espero corrección del mismo.

[ingmarov]

Hola una corrección

A ver

\( (\sqrt{3^2 + x^2}- \sqrt{3^2  - x^2})^2=(3^2 + x^2)-2\sqrt{3^2 + x^2}\sqrt{3^2 - x^2}+(3^2 - x^2)=18-2\sqrt{9^2 {\bf\color{red}-}x^4} \). Para \( \bf-3\leq x\leq 3 \)

Creo que ese es el error


Saludos

[Ricardo Boza]

Hola,

\( (\sqrt{3^2 + x^2}- \sqrt{3^2  - x^2})^2=(3^2 + x^2)-2\sqrt{3^2 + x^2}\sqrt{3^2 - x^2}+(3^2 - x^2)=18-2\sqrt{9^2 {\bf\color{red}-}x^4} \)

\( (\sqrt{z})^2=|z| \)

\( (\sqrt{3^2+x^2})^2=|3^2+x^2|=3^2+x^2 \)

\( (\sqrt{3^2-x^2})^2=|3^2-x^2|=\begin{cases} 3^2-x^2 & \text{si}& x\in [-3,3]\\x^2-3^2 & \text{c.c}\end{cases} \)

Saludos

[ingmarov]

Hola,

\( (\sqrt{3^2 + x^2}- \sqrt{3^2  - x^2})^2=(3^2 + x^2)-2\sqrt{3^2 + x^2}\sqrt{3^2 - x^2}+(3^2 - x^2)=18-2\sqrt{9^2 {\bf\color{red}-}x^4} \)

\( (\sqrt{z})^2=|z| \)

\( (\sqrt{3^2+x^2})^2=|3^2+x^2|=3^2+x^2 \)

\( (\sqrt{3^2-x^2})^2=|3^2-x^2|=\begin{cases} 3^2-x^2 & \text{si}& x\in [-3,3]\\x^2-3^2 & \text{c.c}\end{cases} \)

Saludos

Es verdad ahora corrijo

Viéndolo bien, creo hay un error

\( |z|=\sqrt{z^2} \)

Y no

\( |z|\neq(\sqrt{z})^2 \)

Saludos

[Ricardo Boza]

Llevabas razón, perdóname.

Estaba pensando que la expresión tenía que pertenecer a los reales. Pero incluso si así fuera, la forma de solucionarlo no es a posteriori como yo he hecho, sino a priori definiendo el dominio de la función implicada.

Es algo trivial para un matemático. Para mí no era, por lo visto. Tengo mucho que aprender todavía para llegar a ser uno.

Saludos.

[ingmarov]

Llevabas razón, perdóname.

Estaba pensando que la expresión tenía que pertenecer a los reales. Pero incluso si así fuera, la forma de solucionarlo no es a posteriori como yo he hecho, sino a priori definiendo el dominio de la función implicada.

Es algo trivial para un matemático. Para mí no era, por lo visto. Tengo mucho que aprender todavía para llegar a ser uno.

Saludos.

No te preocupes, a todos se nos pasa algo de vez en cuando, yo soy un campeón en eso, incluso los matemáticos avanzados cometen errores.

Te agradezco por "echarle un ojo" (por revisar).

Saludos

[hfarias]

Estimados ingmarov y Bobby Fischer gracias por sus aportes,yo no desarrolle el binomio al cuadrado del numerador porque vi que se extendia demasiado el ejercicio.

No obstante había realizado mal la operación en el numerador al eliminar terminos.

Pero lo que no entiendo es porque utilizaron el intervalo \( \displaystyle -3\leq{x}\leq{3} \)

Gracias nuevamente a los dos.

[ingmarov]

...
Pero lo que no entiendo es porque utilizaron el intervalo \( \displaystyle -3\leq{x}\leq{3} \)

...

Es por el dominio de la expresión radical \( \sqrt{3^2-x^2} \), fuera de ese intervalo obtienes valores complejos de esa raíz. Lo mismo pasa con \( \sqrt{9^2-x^4} \)

Saludos