¿Crees que Stewart impone esa condición innecesariamente? ¿O más bien que la propiedad de Rogawski es incorrecta como considera Masacroso?
Más que incorrecta es una condición que se impone para poder hacer la demostración. Sin embargo es posible que no sea necesaria esa condición, pero en ese caso la demostración utilizaría herramientas más complejas, aunque también es posible que haya un contra-ejemplo que demuestre la necesidad de la continuidad de las derivadas.
En cualquier caso habría que ver la demostración de Rogawski del teorema para ver si en su demostración hace uso de la continuidad de las derivadas (quizá de manera velada) o no. Si en la demostración hace uso de tal continuidad entonces simplemente se le ha olvidado mencionarlo.
El lema de Poincaré simplemente afirma que toda 1-forma cerrada (cerrada aquí significa que cumple lo de las derivadas cruzadas) en un espacio simplemente conexo es exacta (es decir, que tal 1-forma tiene una primitiva), lo que es equivalente a decir que si un campo vectorial \( F \) continuamente diferenciable en una región simplemente conexa cumple la condición de las derivadas cruzadas entonces es un campo conservativo (lo que es equivalente a decir que es un campo gradiente, es decir, que tiene una primitiva, denominada en física como función potencial, que no es más que otra forma de decir campo escalar).
La relación con las 1-formas es que a todo campo vectorial \( F \) se le puede asociar una única 1-forma que no es más que \( F(x)dx \), y viceversa: a cada 1-forma se le puede asociar un campo vectorial. Son conceptos intercambiables (en cierto sentido), todo para decir que si \( C \) es un camino cerrado en \( D \) entonces \( \int_{C}F(x)dx=0 \), es decir, que \( F \) es conservativo (o equivalentemente, que la 1-forma \( F(x)dx \) es exacta). Espero que ahora haya quedado más claro todo.
También he editado mi primera respuesta para añadir una aclaración para mostrar dónde fallaría mi argumentación.
