Autor Tema: Demostración de matrices ortogonales

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

23 Febrero, 2020, 10:46 pm
Leído 972 veces

Asdfgh

  • Junior
  • Mensajes: 59
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas tardes.

Escribo para pedir ayuda con esta propiedad que he usado para una demostración más grande pero no sé si realmente se cumple.
Si alguien la pudiese demostrar estaría agradecido.

Sea \( J(x,y)=(-y,x) \) y \( A \in O(2) \) (matrices ortogonales de orden 2). Probar que \( J \circ A=det(A)(A\circ J) \)

Muchas gracias.

24 Febrero, 2020, 05:02 am
Respuesta #1

Gustavo

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,803
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola. Sí, eso es cierto. Una forma de verlo es usando que las matrices ortogonales son rotaciones o rotaciones con reflexión, o sea, de la forma

\( \begin{bmatrix}{\cos t}&{-\sin t}\\{\sin t}&{\cos t}\end{bmatrix} \)   o   \( \begin{bmatrix}{\cos t}&{\sin t}\\{\sin t}&{-\cos t}\end{bmatrix} \)

para algún \( t\in [0,2\pi] \).

25 Febrero, 2020, 10:55 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,047
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Escribo para pedir ayuda con esta propiedad que he usado para una demostración más grande pero no sé si realmente se cumple.
Si alguien la pudiese demostrar estaría agradecido.

Sea \( J(x,y)=(-y,x) \) y \( A \in O(2) \) (matrices ortogonales de orden 2). Probar que \( J \circ A=det(A)(A\circ J) \)

Otra forma (en realidad casi igual pero sin presuponer la forma general de las matrices ortogonales). En general para una matriz \( A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix} \) se sabe que su inversa es (por la conocida fórmula de la matriz adjunta):

\( A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix} \)

Si es ortogonal por definición, \( A^{-1}=A^t \) de donde:

\( d=a\cdot det(A),\quad c=-b\cdot det(A) \)

Entonces:

\( A=\begin{pmatrix}a&b\\-b\,det(A)&a\,det(A)\\\end{pmatrix} \)

Ahora no hay más que haces las cuentas.

Saludos.