Autor Tema: Resolver \(a_{n+1}-4a_n=4(1-n)2^n\) con \(a_0=3\)

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18 Febrero, 2020, 11:31 pm
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manooooh

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Hola!!

Resolver \(a_{n+1}-4a_n=4(1-n)2^n\) con \(a_0=3\).



La homogénea es fácil, es \( a_n^h=k\cdot4^n \), pero se me complica cuando debo proponer una solución particular para \( f(n)=4(1-n)2^n \).

Intenté:

\( f(n)=4\cdot2^n-4n2^n\implies \)

Esta: \( a_n^p=A\cdot2^n+(Bn+C)\cdot(D\cdot2^n) \)

Esta otra: \( a_n^p=A\cdot2^n+(Bn+C)\cdot(A\cdot2^n) \)

Y esta otra: \( a_n^p=A\cdot2^n+(Bn+C)\cdot2^n \)

pero resulta que ninguna me sirve pues siempre me quedan más de \( 2 \) constantes para despejar (por el \( A,B,C \) -opcionalmente \( D \)-, cuando \( f(n) \) tiene sólo 2 términos).

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cómo se propone una solución particular \( a_n^p \)? ???

Gracias!!
Saludos

19 Febrero, 2020, 12:29 am
Respuesta #1

geómetracat

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Las tres que han probado en realidad son la misma, y de hecho otra que es la misma pero más sencilla es:
\( a^p_n = A2^n + Bn2^n \)

Para verlo solo tienes que comprobar que todas son combinaciones lineales de \( 2^n \) y \( n2^n \), de manera que redefiniendo las constantes adecuadamente puedes pasar de unas a otras.

Ahora, imponemos que sea solución:
\( a^p_{n+1} - a^p_n = 4(1-n)2^n \)
\( A2^{n+1} + B(n+1)2^{n+1} - A2^n - Bn2^n = 4 \cdot 2^n -4n2^n \)
Reordenando un poco queda:
\( (A+2B)2^n + Bn2^n = 4\cdot 2^n -4n2^n \).
Así pues, una solución se obtiene tomando \( B=-4,A=12 \), es decir:
\( a^p_n = 12\cdot 2^n -4n2^n \)
(suponiendo que no me haya equivocado: repasa los cálculos porque los he ido haciendo mientras escribía).
Efectivamente estaba mal, copié mal la ecuación homogénea. En el siguiente mensaje de manooooh están los cálculos correctos.

A ti te salían más incógnitas porque estabas metiendo constantes superfluas en tus candidatos a solución. De todas maneras, que te salgan más incógnitas que ecuaciones no es problema: puedes dar valores arbitrarios a algunas de ellas hasta que te quedes con tantas incógnotas como ecuaciones. A veces esto quiere decir que la solución particular que estás ensayando tiene una forma demasiado general, pero esto no es problema.

El problema vendría si te encuentras con un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Eso quiere decir que la forma de la solución propuesta no es lo suficientemente general y tienes que poner más términos o buscarte la vida de otra forma.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Febrero, 2020, 12:43 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola geómetracat, muchas gracias, como siempre!

Las tres que han probado en realidad son la misma, y de hecho otra que es la misma pero más sencilla es:
\( a^p_n = A2^n + Bn2^n \)

Para verlo solo tienes que comprobar que todas son combinaciones lineales de \( 2^n \) y \( n2^n \), de manera que redefiniendo las constantes adecuadamente puedes pasar de unas a otras.

Hmm.. yo tengo anotado que cuando por ejemplo \( f(n) \) es de la forma \( Kn \) entonces proponemos \( Bn+C \), pero ya sé que \( f(n) \) no es un polinomio, por eso pregunto.

Es \( f(n)=g(n)+h(n) \), \( g(n) \) coincidmos, pero \( h(n)=-4n2^n \) que NO es un polinomio pero observé que:

\( h(n)=-4\underbrace{n}_{\text{Polinomio 1º grado}}\;\;\underbrace{2^n}_{\text{Exponencial}} \)      luego propongo \( a_n^p=\underbrace{(Bn+C)}_{\text{Polinomio 1º grado}}\;\;\underbrace{D\cdot2^n}_{\text{Exponencial}} \)

¿Por qué esto no funciona? ¿Porque \( h(n) \) no es de ninguna forma "conocida"? Pero entonces no me hubiese dado cuenta de proponer algo tan simple como \( a_n^p=Bn2^n \) para \( h(n) \) (perdón por llamar \( a_n^p \) a dos cosas distintas).

Ahora, imponemos que sea solución:
\( a^p_{n+1} - a^p_n = 4(1-n)2^n \)
\( A2^{n+1} + B(n+1)2^{n+1} - A2^n - Bn2^n = 4 \cdot 2^n -4n2^n \)
Reordenando un poco queda:
\( (A+2B)2^n + Bn2^n = 4\cdot 2^n -4n2^n \).
Así pues, una solución se obtiene tomando \( B=-4,A=12 \), es decir:
\( a^p_n = 12\cdot 2^n -4n2^n \)
(suponiendo que no me haya equivocado: repasa los cálculos porque los he ido haciendo mientras escribía).

Ahora lo voy a ver, teóricamente con el valor inicial el libro dice que la relación de recurrencia queda \( a_n=2n2^n+3\cdot4^n \).

No me queda igual a vos pero coincide con la del libro.

Lo que hice fue:

\( a_{n+1}^p-4a_{n}^p=2A2^n+2Bn2^n+2B2^n-4A2^n-4Bn2^n \)

            \( =2^n(2A+2B-4A)+n2^n(2B-4B)=4\cdot2^n-4n2^n \)

Entonces \( -2B=-4 \)   y    \( -2A+2B=4 \).  Entonces \( B=2 \) y \( A=0 \). Luego:

\( a_n=a_n^h+a_n^p=k\cdot4^n+2n2^n \)   y  con \( a_0=3 \) se tiene \( k=3 \).


A ti te salían más incógnitas porque estabas metiendo constantes superfluas en tus candidatos a solución. De todas maneras, que te salgan más incógnitas que ecuaciones no es problema: puedes dar valores arbitrarios a algunas de ellas hasta que te quedes con tantas incógnotas como ecuaciones. A veces esto quiere decir que la solución particular que estás ensayando tiene una forma demasiado general, pero esto no es problema.

El problema vendría si te encuentras con un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Eso quiere decir que la forma de la solución propuesta no es lo suficientemente general y tienes que poner más términos o buscarte la vida de otra forma.

Claro, en ese caso la particular \( a_n^p \) se la multiplica por \( n \) hasta que el sistema deje de ser incompatible.

Gracias! ;)

Saludos

Agregado

19 Febrero, 2020, 11:46 am
Respuesta #3

geómetracat

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Hmm.. yo tengo anotado que cuando por ejemplo \( f(n) \) es de la forma \( Kn \) entonces proponemos \( Bn+C \), pero ya sé que \( f(n) \) no es un polinomio, por eso pregunto.

Es \( f(n)=g(n)+h(n) \), \( g(n) \) coincidmos, pero \( h(n)=-4n2^n \) que NO es un polinomio pero observé que:

\( h(n)=-4\underbrace{n}_{\text{Polinomio 1º grado}}\;\;\underbrace{2^n}_{\text{Exponencial}} \)      luego propongo \( a_n^p=\underbrace{(Bn+C)}_{\text{Polinomio 1º grado}}\;\;\underbrace{D\cdot2^n}_{\text{Exponencial}} \)

¿Por qué esto no funciona? ¿Porque \( h(n) \) no es de ninguna forma "conocida"? Pero entonces no me hubiese dado cuenta de proponer algo tan simple como \( a_n^p=Bn2^n \) para \( h(n) \) (perdón por llamar \( a_n^p \) a dos cosas distintas).

¡Es que sí que funciona! Todas tus propuestas funcionaban. Lo único que pasa es que hay constante redundantes, pero eso no es problema. La solución que propones es: \( BDn2^n + BC2^n \). Esto es la misma función que propuse yo, solo que tú tenes una constante adicional multiplicando. Pero eso no es problema, puedes dar a \( B \) cualquier valor que quieras (menos \( 0 \), claro) y tendrás una solución (que será la misma que obtuve yo, porque es exactamente el mismo tipo de solución).
Citar
No me queda igual a vos pero coincide con la del libro.
...

Está bien lo tuyo. Yo copié mal la parte homogénea (me dejé el \( 4 \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Febrero, 2020, 12:49 pm
Respuesta #4

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Hola

¡Es que sí que funciona! Todas tus propuestas funcionaban. Lo único que pasa es que hay constante redundantes, pero eso no es problema. La solución que propones es: \( BDn2^n + BC2^n \). Esto es la misma función que propuse yo, solo que tú tenes una constante adicional multiplicando. Pero eso no es problema, puedes dar a \( B \) cualquier valor que quieras (menos \( 0 \), claro) y tendrás una solución (que será la misma que obtuve yo, porque es exactamente el mismo tipo de solución).

¡Ah! O sea que si tenemos, por ejemplo, \( 4 \) constantes distintas de \( 0 \) y \( 2 \) ecuaciones (que se corresponden con igualar los términos semejantes a ambos lados de la igualdad en la relación de recurrencia), ¿entonces podemos elegir arbitrariamente cualquier valor para \( 2 \) constantes, resultando en \( 2 \) incógnitas con \( 2 \) ecuaciones?

Obviamente esto no asegura que podamos hayar una solución porque puede resultar un sistema incompatible. En ese caso ¿una alternativa sería dar otros valores a las mismas constantes? ¿Y elegir otras constantes con otros valores también es una alternativa?

Gracias y saludos

21 Febrero, 2020, 10:07 am
Respuesta #5

geómetracat

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¡Ah! O sea que si tenemos, por ejemplo, \( 4 \) constantes distintas de \( 0 \) y \( 2 \) ecuaciones (que se corresponden con igualar los términos semejantes a ambos lados de la igualdad en la relación de recurrencia), ¿entonces podemos elegir arbitrariamente cualquier valor para \( 2 \) constantes, resultando en \( 2 \) incógnitas con \( 2 \) ecuaciones?

En este caso sí.

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Obviamente esto no asegura que podamos hayar una solución porque puede resultar un sistema incompatible. En ese caso ¿una alternativa sería dar otros valores a las mismas constantes? ¿Y elegir otras constantes con otros valores también es una alternativa?

No hay una receta universal, hay que mirar cada caso. Pero lo que quería transmitir es que si tienes un sistema de ecuaciones con más incógnitas que ecuaciones, eso no quiere decir que no se pueda resolver. En algunas ocasiones no se podrá (por lo que dices, porque dando valores siempre te sale un sistema incompatible, por ejemplo), pero en muchas otras (como tu problema) sí se puede.

Al margen de eso, cuando propones una solución es mejor usar las constantes imprescindibles y no más, para no liarse. Por ejemplo, si propones una solución de la forma:
\( (Bn+C)D2^n \)
puedes expandirla para ver que es lo mismo que
\( BD2^n + CDn2^n \)
y darte cuenta de que es lo mismo que una solución de la forma
\( A'2^n + B'n2^n \)
con solo dos constantes.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Febrero, 2020, 08:33 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola

No hay una receta universal, hay que mirar cada caso. Pero lo que quería transmitir es que si tienes un sistema de ecuaciones con más incógnitas que ecuaciones, eso no quiere decir que no se pueda resolver. En algunas ocasiones no se podrá (por lo que dices, porque dando valores siempre te sale un sistema incompatible, por ejemplo), (...)

Interesante.

Al margen de eso, cuando propones una solución es mejor usar las constantes imprescindibles y no más,

Lo que me pasaba es que pensaba que las constantes imprescindibles eran \( 4 \), y no \( 2 \), porque es como pasa en un polinomio de grado \( n \) etc.

Por ejemplo, si propones una solución de la forma:
\( (Bn+C)D2^n \)
puedes expandirla para ver que es lo mismo que
\( BD2^n + CDn2^n \)
y darte cuenta de que es lo mismo que una solución de la forma
\( A'2^n + B'n2^n \)
con solo dos constantes.

Ahh, ¡es cierto! No lo había visto así. Gracias.

Saludos