Autor Tema: Aplicaciones conformes y geometría

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11 Febrero, 2020, 07:16 pm
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Restituto

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Esto quizás podría ubicarse en otros subforos de geometría/álgebra pero como lo he pensado al leer sobre aplicaciones conformes mientras estudio variable compleja lo pongo aquí:
 ¿Se puede identificar matemáticamente una aplicación conforme de una función holomorfa de una variable (con derivada no nula), con una rotacion identidad isoclina \( SO(4) \) en el espacio orientado de 4 dimensiones reales \( \mathbb{C^2} \)?
A menudo se habla de la interpretación de las funciones holomorfas como transformaciones que precisan 4 coordenadas reales(sobre todo para señalar que no es posible graficarlas de la manera que se hace en menos dimensiones), y por otro lado la conformidad consiste en preservar ángulos orientados en la transformación. Una rotación identidad isoclina \( SO(4) \)  preserva el ángulo inicial en sus 2 planos de rotación de igual ángulo de acuerdo a la orientación dada en el espacio 4-dimensional real en que se da.

Ref.: https://en.wikipedia.org/wiki/Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space

12 Febrero, 2020, 11:37 am
Respuesta #1

geómetracat

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Pues de nuevo no estoy seguro de entender muy bien la duda, aunque sospecho que la respuesta es no.
Una aplicación conforme (de \( \Bbb C \) en \( \Bbb C \)) es lo mismo que una función holomorfa con derivada no nula en todas partes. Hay muchísimas funciones de este tipo que no son rotaciones (por ejemplo, \( f(z) = e^z \)). Por tanto, no puedes identificar estas funciones con rotaciones. Sí es cierto que toda rotación en \( \Bbb C \) es una aplicación conforme (de la forma \( f(z) = e^{i\theta}z \) donde \( \theta \) es un real fijado).
La clave está en que una aplicación conforme solamente tiene que preservar ángulos localmente, mientras que las rotaciones te preservan no únicamente ángulos sino también longitudes, pues son isometrías.

Esto me lleva a lo que no entiendo: por qué hablas de \( SO(4) \). Lo natural aquí es usar \( SO(2) \), que son las rotaciones del plano y se pueden pensar por lo tanto como aplicaciones \( \Bbb C \to \Bbb C \). Se me ocurre que quizás estés pensando en algo del estilo ver una función compleja como su grafo (los puntos de la forma \( (z,f(z) \) en \( \Bbb C^2 \)) y considerar la acción de \( SO(4) \) en \( \Bbb C^2 \), o quizás mejor el subgrupo isomorfo a \( SO(2) \) de rotaciones isoclinas. Pero no veo claro qué ganas con eso ni cómo pretendes relacionarlo con la propiedad de ser conforme.

En cualquier caso, como ya te digo, ser una rotación es mucho más fuerte que ser una aplicación conforme, que no deja de ser una condición local. Así que no vas a poder identificar aplicaciones conformes con rotaciones.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Febrero, 2020, 01:05 pm
Respuesta #2

Restituto

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Pues de nuevo no estoy seguro de entender muy bien la duda, aunque sospecho que la respuesta es no.
Una aplicación conforme (de \( \Bbb C \) en \( \Bbb C \)) es lo mismo que una función holomorfa con derivada no nula en todas partes. Hay muchísimas funciones de este tipo que no son rotaciones (por ejemplo, \( f(z) = e^z \)). Por tanto, no puedes identificar estas funciones con rotaciones. Sí es cierto que toda rotación en \( \Bbb C \) es una aplicación conforme (de la forma \( f(z) = e^{i\theta}z \) donde \( \theta \) es un real fijado).
La clave está en que una aplicación conforme solamente tiene que preservar ángulos localmente, mientras que las rotaciones te preservan no únicamente ángulos sino también longitudes, pues son isometrías.

Esto me lleva a lo que no entiendo: por qué hablas de \( SO(4) \). Lo natural aquí es usar \( SO(2) \), que son las rotaciones del plano y se pueden pensar por lo tanto como aplicaciones \( \Bbb C \to \Bbb C \). Se me ocurre que quizás estés pensando en algo del estilo ver una función compleja como su grafo (los puntos de la forma \( (z,f(z) \) en \( \Bbb C^2 \)) y considerar la acción de \( SO(4) \) en \( \Bbb C^2 \), o quizás mejor el subgrupo isomorfo a \( SO(2) \) de rotaciones isoclinas. Pero no veo claro qué ganas con eso ni cómo pretendes relacionarlo con la propiedad de ser conforme.

En cualquier caso, como ya te digo, ser una rotación es mucho más fuerte que ser una aplicación conforme, que no deja de ser una condición local. Así que no vas a poder identificar aplicaciones conformes con rotaciones.
Tienes toda la razón, es mucho más fuerte la condición de rotación que la de ser conforme, así que tendría que ser con un subconjunto de las transformaciones conformes muy particular la identificación. Estoy intentando seguir la pista de que la rotación doble isoclina solo tiene un punto de intersección entre sus 2 planos de rotación ortogonales que se podrían identificar con los planos de dominio y codominio de tal función-esto lo he visto hacer en geometría compleja en más de una variable pero no en una única-, y lo único que se me ocurre es una función meromorfa no racional con codominio un solo punto, es decir un cero de una función meromorfa, que actuaría como origen y punto de contacto único entre los planos.


[En cuanto a la motivación:Sé que todo esto suena raro  pero es pura curiosidad, una especie de "brainstorming"  sin "porqués" ni objetivo claro. No soy matemático ni estudio en ninguna universidad para sacar un título, sino que estudio por el propio placer de aprender así que tengo más libertad para hacerme preguntas- y es una suerte que se puedan trasladar a un foro como este con tanta gente dispuesta a ayudar-, y luego comprobar si tienen algún sentido.]

12 Febrero, 2020, 05:25 pm
Respuesta #3

geómetracat

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¿Me puedes dar alguna referencia de lo que dices que has visto en varias variables complejas?
Sobre lo de la función meromorfa y demás lo siento pero no soy capaz de darle sentido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Febrero, 2020, 07:55 pm
Respuesta #4

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¿Me puedes dar alguna referencia de lo que dices que has visto en varias variables complejas?
Creo que lo leí en math.stackexchange pero no me acuerdo bien, si lo localizo te mando el link.

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Sobre lo de la función meromorfa y demás lo siento pero no soy capaz de darle sentido.
No pasa nada, no me extraña, yo tampoco :banghead: no hay por donde cogerlo. Me quedo con tu respuesta de arriba.

22 Julio, 2020, 07:37 pm
Respuesta #5

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Esto me lleva a lo que no entiendo: por qué hablas de \( SO(4) \). Lo natural aquí es usar \( SO(2) \), que son las rotaciones del plano y se pueden pensar por lo tanto como aplicaciones \( \Bbb C \to \Bbb C \). Se me ocurre que quizás estés pensando en algo del estilo ver una función compleja como su grafo (los puntos de la forma \( (z,f(z) \) en \( \Bbb C^2 \)) y considerar la acción de \( SO(4) \) en \( \Bbb C^2 \), o quizás mejor el subgrupo isomorfo a \( SO(2) \) de rotaciones isoclinas. Pero no veo claro qué ganas con eso ni cómo pretendes relacionarlo con la propiedad de ser conforme.

He vuelto a este punto porque se me ocurre una forma de pensar en esto independiente de la pregunta original. Si como decías vemos una aplicación \( \Bbb C \to \Bbb C \) analítica no entera como su grafo en un ambiente 4 dimensional, si podemos imaginar que la función obedezca algún tipo de simetría en este espacio del grafo y si esta simetría fuera por ejemplo la de reflexión respecto al origen o simetría central(no sé si habrá alguna contradicción en esta simetría con analiticidad pero no creo), me da la impresión de que esto sería equivalente precisamente a la compatibilidad de tal aplicación con las rotaciones isoclinas que mencionas, ya que la reflexión en un punto en 4 dimensiones implica(de acuerdo con el teorema de Cartan-Dieudonné) una rotación orientada de 180º en cada uno de los 2 planos de rotación isoclina, es decir una rotación doble isoclina \( SO(4) \) en \( \Bbb C^2 \).

22 Julio, 2020, 10:34 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Si impones que el grafo sea invariante bajo una simetría central te queda la condición \( f(-z)=-f(z) \) para todo \( z \in \Bbb C \).
Si impones que sea invariante bajo todas las rotaciones isoclinas te queda \( f(e^{it}z) = e^{it}f(z) \) para todo \( t\in [0,2\pi), z \in \Bbb C \). Esto implica que \( f(re^{it}) = e^{it}f(r) \) con \( r>0 \), es decir que \( f \) queda determinada por su restricción a los reales positivos. Si además es analítica, de las ecuaciones CR sale que debe ser \( f(z)=\alpha z \), con \( \alpha \in \Bbb C \). En resumen, el grafo de una función analítica \( f \) es invariante bajo rotaciones isoclinas si y solo si \( f \) es lineal.

Si solamente impones invariancia respecto a la simetría central hay muchas más funciones analíticas que las lineales, por ejemplo \( f(z)=\sin(z) \), o en general cualquiera que en su desarrollo de Taylor alrededor del cero tenga todos sus coeficientes de orden par nulos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Julio, 2020, 12:02 am
Respuesta #7

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Si, es una restricción muy fuerte si la simetría afecta a todo el dominio. Si por ejemplo se restringe a puntos aislados tenemos funciones no lineales como \( f(z)=z^8-16 \).

23 Julio, 2020, 10:09 am
Respuesta #8

geómetracat

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Si, es una restricción muy fuerte si la simetría afecta a todo el dominio. Si por ejemplo se restringe a puntos aislados tenemos funciones no lineales como \( f(z)=z^8-16 \).

No acabo de entender el ejemplo. ¿Cuáles son los puntos aislados?

Por otro lado, fíjate que si en vez de imponer la invariancia frente a rotaciones isoclinas de una función diferenciable lo haces de la diferencial de la función en cada punto entonces sí recuperas la condición usual de analiticidad (es equivalente a que la diferencial sea compleja-lineal, o a que preserve la estructura cuasi-compleja).
En definitiva, que la conformidad y la analiticidad son condiciones "infinitesimales", sobre las diferenciales, más que sobre la función global.
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23 Julio, 2020, 11:01 am
Respuesta #9

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No acabo de entender el ejemplo. ¿Cuáles son los puntos aislados?
Me refiero a que para esta función por ejemplo(para encontrarla usé simplemente la raíz octava de la unidad que me asegura la simetría  central del dominio y luego le reste la cantidad justa para que se anulara) los puntos aislados para los que se anula como \[ f(z)=1+i \] incluyen entre sus simetrías la central, o sea que \[ f(z)=-1-i=0 \] también.
Corregido un signo
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Por otro lado, fíjate que si en vez de imponer la invariancia frente a rotaciones isoclinas de una función diferenciable lo haces de la diferencial de la función en cada punto entonces sí recuperas la condición usual de analiticidad (es equivalente a que la diferencial sea compleja-lineal, o a que preserve la estructura cuasi-compleja).
En definitiva, que la conformidad y la analiticidad son condiciones "infinitesimales", sobre las diferenciales, más que sobre la función global.
Sí, esto creo que lo veo.

23 Julio, 2020, 11:46 am
Respuesta #10

geómetracat

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Ah, ya veo. Sí claro, puedes tener simetrías para conjuntos de puntos aislados y es mucho menos restrictivo. Lo que no tengo claro es si se puede decir algo interesante sobre eso.
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23 Julio, 2020, 12:05 pm
Respuesta #11

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Ah, ya veo. Sí claro, puedes tener simetrías para conjuntos de puntos aislados y es mucho menos restrictivo. Lo que no tengo claro es si se puede decir algo interesante sobre eso.

Lo comentarios que me has hecho sobre esto en tus 2 anteriores posts me parecen bastante interesantes. Sobre el caso concreto de los puntos aislados a mí me interesa especialmente por ciertas funciones en física que tienen esta simetría y han de llevarse al plano complejo.