Pues de nuevo no estoy seguro de entender muy bien la duda, aunque sospecho que la respuesta es no.
Una aplicación conforme (de \( \Bbb C \) en \( \Bbb C \)) es lo mismo que una función holomorfa con derivada no nula en todas partes. Hay muchísimas funciones de este tipo que no son rotaciones (por ejemplo, \( f(z) = e^z \)). Por tanto, no puedes identificar estas funciones con rotaciones. Sí es cierto que toda rotación en \( \Bbb C \) es una aplicación conforme (de la forma \( f(z) = e^{i\theta}z \) donde \( \theta \) es un real fijado).
La clave está en que una aplicación conforme solamente tiene que preservar ángulos localmente, mientras que las rotaciones te preservan no únicamente ángulos sino también longitudes, pues son isometrías.
Esto me lleva a lo que no entiendo: por qué hablas de \( SO(4) \). Lo natural aquí es usar \( SO(2) \), que son las rotaciones del plano y se pueden pensar por lo tanto como aplicaciones \( \Bbb C \to \Bbb C \). Se me ocurre que quizás estés pensando en algo del estilo ver una función compleja como su grafo (los puntos de la forma \( (z,f(z) \) en \( \Bbb C^2 \)) y considerar la acción de \( SO(4) \) en \( \Bbb C^2 \), o quizás mejor el subgrupo isomorfo a \( SO(2) \) de rotaciones isoclinas. Pero no veo claro qué ganas con eso ni cómo pretendes relacionarlo con la propiedad de ser conforme.
En cualquier caso, como ya te digo, ser una rotación es mucho más fuerte que ser una aplicación conforme, que no deja de ser una condición local. Así que no vas a poder identificar aplicaciones conformes con rotaciones.