Autor Tema: Consulta sobre el teorema 1.9 del libro "Lógica Matemática" de Carlos Ivorra Cas

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10 Febrero, 2020, 11:33 am
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QwertyZxc

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En la página 26 de dicho libro se encuentra el teorema 1.9
De manera informal, tengo entendido que dicho teorema demuestra que la interpretación de una expresión respecto de una valoración depende únicamente de como actúa esta sobre las variables libres. Las variables ligadas son irrelevantes.

No entiendo como es que este teorema demuestra lo dicho arriba. Y en concreto ya desde los primeros renglones me pierdo. ¿Por qué v(x) = w(x)? ¿No podrían ser objetos distintos? Y si solamente tomamos los casos en que son iguales, no veo como esto demuestra lo dicho más arriba.

10 Febrero, 2020, 10:47 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Tienes una expresión \( \theta \) (un término o una fórmula), por concretar, supongamos que es un término. Lo que dice el teorema es que si \( v \) y \( w \) son dos valoraciones en un modelo \( M \) que coinciden sobre las variables libres en \( \theta \), entonces \( M(\theta)[v] \) y \( M(\theta)[w] \) son iguales, es decir, que \( \theta \) denota el mismo objeto en \( M \) tanto si las variables se interpretan mediante \( v \) o mediante \( w \). Eso es lo mismo que decir que si tenemos \( v \) y el objeto \( M(\theta)[v] \) y cambiamos la interpretación de las variables que no están libres en \( \theta \) (pero no la de las que sí que lo están), es decir, si pasamos a otra valoración \( w \) en las condiciones del teorema, entonces  \( M(\theta)[v] \) no cambia al pasar a  \( M(\theta)[w] \). En otras palabras, que la interpretación de las variables que no están libres en \( \theta \) es irrelevante. Por modificarla, no vamos a cambiar el objeto denotado por \( \theta \).

En el primer paso de la prueba suponemos que \( \theta \) es una simple variable \( x \). Entonces \( x \) está libre en \( \theta \) y sabemos que \( v(x)=w(x) \) porque estamos suponiendo que \( v \) y \( w \) coinciden en las variables libres en \( \theta \) (es decir, en \( x \)).

Sólo tomamos casos en los que \( v \) y \( w \) coinciden en las variables libres en \( \theta \), y eso es lícito porque ésa es una de las hipótesis del teorema.

No sé qué más puedo añadir.

10 Febrero, 2020, 11:27 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

¿Esto de las valoraciones tiene que ver con la lógica de primer orden, en donde por ejemplo si tenemos la implicación \( p\to q \) y \( v(p)=\mathrm{V},v(q)=\mathrm{F} \), luego \( v(p\to q)=\mathrm{F} \)? ¿Es un caso particular de todo lo que expone el capítulo?

No leí en detalle el libro, pero ¿las valoraciones posibles son dos: verdadero y falso? ¿Cuántas habrían en un caso general (como el que usa el libro)?

Gracias y saludos

11 Febrero, 2020, 12:46 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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¿Esto de las valoraciones tiene que ver con la lógica de primer orden, en donde por ejemplo si tenemos la implicación \( p\to q \) y \( v(p)=\mathrm{V},v(q)=\mathrm{F} \), luego \( v(p\to q)=\mathrm{F} \)? ¿Es un caso particular de todo lo que expone el capítulo?

No leí en detalle el libro, pero ¿las valoraciones posibles son dos: verdadero y falso? ¿Cuántas habrían en un caso general (como el que usa el libro)?

Las valoraciones en este contexto son valoraciones en el sentido de la lógica de primer orden, que NO son lo que a continuación dices que son. Tú estás hablando de valoraciones en lógica proposicional.

Tienen que ver, pero lo uno no es un caso particular de lo otro, ni viceversa. (Se podría dar una definición más general que englobara a ambos casos.) Las valoraciones en lógica de primer orden asignan a cada variable un objeto de un modelo dado de antemano, no un valor de verdad. Por ejemplo, si el modelo tiene por universo los números naturales, cada valoración asocia a cada variable un número natural, no "verdadero o falso".

17 Febrero, 2020, 12:05 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Las valoraciones en este contexto son valoraciones en el sentido de la lógica de primer orden, que NO son lo que a continuación dices que son. Tú estás hablando de valoraciones en lógica proposicional.

Tienen que ver, pero lo uno no es un caso particular de lo otro, ni viceversa. (Se podría dar una definición más general que englobara a ambos casos.) Las valoraciones en lógica de primer orden asignan a cada variable un objeto de un modelo dado de antemano, no un valor de verdad. Por ejemplo, si el modelo tiene por universo los números naturales, cada valoración asocia a cada variable un número natural, no "verdadero o falso".

Gracias.

Entonces valoraciones en lógica proposicional (lo que yo hablaba) no tiene relación con las de la lógica de primer orden. Entendido.

Saludos