Hola
Dada \( B=\begin{pmatrix}
1 & t & 25\\
0 & t & t+1\\
0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix} \), determinar \( t \) perteneciente a reales tal que \( B \) sea diagonalizable.
No estoy seguro como proceder, ¿alguna ayuda?
La matriz diagonaliza si y sólo si:
1- La suma de las multiplicidades algebraicas de los autovalores es igual al orden del matriz (\( 3 \) en este caso).
2- Las multiplicidades algebraicas y geométricas de cada autovalor coincide. Si la algebraica es uno, automáticamente la geométrica también. Por tanto si se cumple la primera condición y todos los autovalores tienen multiplicidad algebraica uno automáticamente diagonaliza.
Entonces:
i) Calcula los autovalores como raíces del polinomio característico \( p(\lambda)=det(B-\lambda Id) \).
ii) Si \( t\neq 1,-1 \) comprueba que tiene tres autovalores distintos de multiplicidad uno y por tanto diagonaliza.
iii) Si \( t=1 \) tiene \( \lambda_1=1 \) con multiplicidad algebraica \( 2 \) y \( \lambda_2=-1 \) con multiplicidad algebraica \( 1 \). Tienes que comprobar si la multiplicidad geométrica de \( \lambda_1=1 \) también es \( 2 \), es decir si:
\( mg(1)=3-rango(B-1\cdot Id)=2 \)
iv) Si \( t=-1 \) ... continúa...
Completa los detalles, pregunta las dudas, comenta lo que has hecho,...
Saludos.
