Recordamos la formula de la factorización del seno de x entre x
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=112219.0\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^4}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^4}\right) \)
Podemos asegurar que unos de los términos serán:
\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=\frac{x^4}{1^22^2\pi^4}+\frac{x^4}{1^23^2\pi^4}+...+\frac{x^4}{2^23^2\pi^4}+\frac{x^4}{2^24^2\pi^4}+... \)
Mientras en su desarrollo polinómico es:
\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+... \)
Igualamos los términos cuárticos:
\( \frac{x^4}{5!} = \frac{x^4}{1^22^2\pi^4}+\frac{x^4}{1^23^2\pi^4}+...+\frac{x^4}{2^23^2\pi^4}+\frac{x^4}{2^24^2\pi^4}+... \)
\( \frac{x^4}{120} = \frac{x^4}{\pi^4}\left(\frac{1}{1^22^2}+\frac{1}{1^23^2}+...+\frac{1}{2^23^2}+\frac{1}{2^24^2}+...\right) \)
\( \frac{\pi^4}{120} = \frac{1}{1^22^2}+\frac{1}{1^23^2}+...+\frac{1}{2^23^2}+\frac{1}{2^24^2}+... \)
Recordamos la Función Zeta evaluada en 2:
\( \frac{\pi^2}{6}=\zeta (2) \)
\( \left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=\zeta^2 (2) \)
\( \frac{\pi^4}{6^2}=\left( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...\right)^2 \)
\( \frac{\pi^4}{36}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+...+2\left(\frac{1}{1^22^2}+\frac{1}{1^23^2}+...+\frac{1}{2^23^2}+\frac{1}{2^24^2}+... \right) \)
\( \frac{\pi^4}{36}=\zeta (4)+2\left(\frac{\pi^4}{120} \right) \)
\( \frac{\pi^4}{36}=\zeta (4)+\frac{\pi^4}{60} \)
\( \frac{\pi^4}{36}-\frac{\pi^4}{60}=\zeta (4) \)
\( \pi^4\left( \frac{1}{36}-\frac{1}{60}\right)=\zeta (4) \)
\( \pi^4\left( \frac{1}{90}\right)=\zeta (4) \)
\( \zeta (4) = \frac{\pi^4}{90} \)
