Recordamos la formula de la factorización del seno de x entre x
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=112219.0\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right) \)
Podemos asegurar que unos de los términos serán:
\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=-\frac{x^2}{\pi^2}-\frac{x^2}{2^2\pi^2}-\frac{x^2}{3^2\pi^2}-\frac{x^2}{3^2\pi^2}-... \)
Mientras en su desarrollo polinómico es:
\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-... \)
Igualamos todos los términos cuadráticos:
\( -\frac{x^2}{3!} =-\frac{x^2}{\pi^2}-\frac{x^2}{2^2\pi^2}-\frac{x^2}{3^2\pi^2}-\frac{x^2}{4^2\pi^2}-... \)
\( -x^2\frac{1}{3!} =-x^2\left( \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\frac{1}{3^2\pi^2}+\frac{1}{4^2\pi^2}+...\right) \)
\( \frac{1}{6} =\frac{1}{\pi^2}\left( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...\right) \)
\( \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+... \)
Simbolicamente, la función Zeta de Riemman se define como:
\( \zeta (n) = \displaystyle \sum_{i=1}^\infty{\frac{1}{i^n}} \)
Relacionando nuestro resultado:
\( \zeta (2) = \frac{\pi^2}{6} \)
